6. Dada las curvas $$ X=\left\{\begin{array}{c}x=t \ y=e^{-t} \ z=2 t-t^{2}\end{array}, t \in R ight. $$ y $$ Y=\left\{\begin{array}{c}x=2 t-1 \ y=t^{2}+2 t, t \epsilon R ext {. Determine: } \ z=2 t+3\end{array} ight. $$ a. Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva $$ X $$ en el punto A( $$ 0,1,0) $$ y grafique la curva, la recta tangente $$ y $$ la recta normal. b. Halle los valores de t, tales que la recta tangente a la curva $$ Y $$ sea paralela a la recta $$ Z=(1,-2,2)+s(3,3,-1) ; s \in R $$. Luego realice la gráfica. c. Halle los valores de t , tales que la recta tangente a la curva $$ Y $$ sea paralela al plano $$ 5 x+4 z=3 $$. Luego realice la gráfica.

Question

6. Dada las curvas $$ X=\left\{\begin{array}{c}x=t \ y=e^{-t} \ z=2 t-t^{2}\end{array}, t \in Right. $$ y $$ Y=\left\{\begin{array}{c}x=2 t-1 \ y=t^{2}+2 t, t \epsilon R 	ext {. Determine: } \ z=2 t+3\end{array}ight. $$ a. Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva $$ X $$ en el punto A( $$ 0,1,0) $$ y grafique la curva, la recta tangente $$ y $$ la recta normal. b. Halle los valores de t, tales que la recta tangente a la curva $$ Y $$ sea paralela a la recta $$ Z=(1,-2,2)+s(3,3,-1) ; s \in R $$. Luego realice la gráfica. c. Halle los valores de t , tales que la recta tangente a la curva $$ Y $$ sea paralela al plano $$ 5 x+4 z=3 $$. Luego realice la gráfica.

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a. Ecuaciones paramétricas de la recta tangente: $$ x = s, y = 1 - s, z = 2s $$. b. $$ t = 0 $$ para paralelismo con la recta $$ Z $$. c. No hay valores de $$ t $$ que hagan que la tangente sea paralela al plano.

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