\begin{tabular}{l} Exercice 08 : Raisonnement par récurrence \\ \hline Montrer que : \\ 1) \( (\forall n \in \mathbb{N}) ; 1+2+2^{2}+\cdots+2^{n}=2^{n+1}-1 \) \\ 2) \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \) \\ 3) \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 1 \times 2+2 \times 3+\cdots \cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \) \\ 4) \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 1+3+5+\cdots \cdots+(2 n+1)=(n+1)^{2} \) \\ 5) \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\cdots \cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1} \) \\ 6) \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 10^{n}-1 \) est divisible par 9 \\ 7) \( \left(\forall n \in \mathbb{N}^{*}\right) ; 3^{2 n}-2^{n} \) est divisible par 7\end{tabular}
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