Hallar la longitud de la curva \( 4 y=2 x^{2}-\ln x \) desde \( x=1 \) hasta \( x=e \)

Para hallar la longitud de la curva dada por la ecuación \( 4y = 2x^2 - \ln x \), primero debemos despejar \( y \): \[ y = \frac{1}{4}(2x^2 - \ln x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}\ln x \] La fórmula para la longitud de una curva \( y = f(x) \) desde \( x = a \) hasta \( x = b \) es: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primero, calculamos la derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}\ln x \right) = x - \frac{1}{4x} \] Ahora, simplificamos \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = x - \frac{1}{4x} = \frac{4x^2 - 1}{4x} \] Ahora, calculamos \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \): \[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left( \frac{4x^2 - 1}{4x} \right)^2 = \frac{(4x^2 - 1)^2}{16x^2} \] Ahora, sumamos 1 a \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \): \[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \frac{(4x^2 - 1)^2}{16x^2} \] Para simplificar esto, llevamos a un denominador común: \[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{16x^2}{16x^2} + \frac{(4x^2 - 1)^2}{16x^2} = \frac{16x^2 + (4x^2 - 1)^2}{16x^2} \] Ahora, expandimos \( (4x^2 - 1)^2 \): \[ (4x^2 - 1)^2 = 16x^4 - 8x^2 + 1 \] Por lo tanto, \[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{16x^2 + 16x^4 - 8x^2 + 1}{16x^2} = \frac{16x^4 + 8x^2 + 1}{16x^2} \] Ahora, tomamos la raíz cuadrada: \[ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \sqrt{\frac{16x^4 + 8x^2 + 1}{16x^2}} = \frac{\sqrt{16x^4 + 8x^2 + 1}}{4x} \] Ahora, la longitud de la curva desde \( x = 1 \) hasta \( x = e \) es: \[ L = \int_1^e \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx = \int_1^e \frac{\sqrt{16x^4 + 8x^2 + 1}}{4x} \, dx \] Para resolver esta integral, podemos simplificar el integrando: \[ L = \frac{1}{4} \int_1^e \frac{\sqrt{(4x^2 + 1)^2}}{x} \, dx = \frac{1}{4} \int_1^e \frac{4x^2 + 1}{x} \, dx = \frac{1}{4} \int_1^e (4x + \frac{1}{x}) \, dx \] Ahora, resolvemos la integral: \[ L = \frac{1}{4} \left( \int_1^e 4x \, dx + \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \right) \] Calculamos cada parte: 1. \( \int 4x \, dx = 2x^2