Si \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{\text {ton }}-1}{x-1}=100 \), entonces \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{50}-1}{x-1}=50 \) Seleccione una: O Verdadero Falso

Para resolver el límite dado, podemos utilizar la regla de L'Hôpital o la derivada de la función en el punto. Dado que \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{\text{ton}} - 1}{x - 1} = 100 \), esto implica que la derivada de \( x^{\text{ton}} \) en \( x = 1 \) es igual a 100. La derivada de \( x^k \) en \( x = 1 \) es \( k \cdot x^{k-1} \) evaluada en \( x = 1 \), que es simplemente \( k \). Por lo tanto, tenemos que: \[ \frac{d}{dx}(x^{\text{ton}}) \bigg|_{x=1} = \text{ton} \] Esto significa que \( \text{ton} = 100 \). Ahora, para el segundo límite: \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{50} - 1}{x - 1} \] Usando el mismo razonamiento, la derivada de \( x^{50} \) en \( x = 1 \) es: \[ \frac{d}{dx}(x^{50}) \bigg|_{x=1} = 50 \cdot x^{49} \bigg|_{x=1} = 50 \] Por lo tanto, el límite es: \[ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{50} - 1}{x - 1} = 50 \] Así que la afirmación es **verdadera**. La respuesta es: **Verdadero**.