212 L'equazione \( k x^{2}-(k-1) y^{2}-k=0 \). (A) non puó mai rappresentare un'ellisse (B rappresenta un'ellisse per ogni valore di \( k \) C) rappresenta un'ellisse per \( 01 \)

Per determinare se l'equazione \( k x^{2}-(k-1) y^{2}-k=0 \) rappresenta un'ellisse, dobbiamo analizzare la forma dell'equazione e le condizioni su \( k \) che la rendono ellittica. Un'equazione di un'ellisse nel piano cartesiano può essere generalmente scritta come: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] dove \( a \) e \( b \) sono i semiassi dell'ellisse. Per trasformare l'equazione data in una forma simile, possiamo provare a riorganizzarla in modo che i termini \( x^2 \) e \( y^2 \) siano separati e in termini di un'equazione del tipo \( \frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1 \). Iniziamo con l'equazione data: \[ k x^{2}-(k-1) y^{2}-k=0 \] Riorganizziamo l'equazione per isolare i termini \( x^2 \) e \( y^2 \): \[ k x^{2} - k = (k-1) y^{2} \] \[ k (x^{2} - 1) = (k-1) y^{2} \] Dividiamo entrambi i lati per \( k \) (considerando che \( k \neq 0 \) per evitare divisione per zero): \[ x^{2} - 1 = \frac{(k-1)}{k} y^{2} \] Riorganizziamo ulteriormente per ottenere una forma più chiara: \[ \frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{\frac{k}{k-1}} = 1 \] Perche' questa equazione rappresenti un'ellisse, i termini \( \frac{x^{2}}{A} \) e \( \frac{y^{2}}{B} \) devono essere positivi e diversi. In questo caso, \( A = 1 \) e \( B = \frac{k}{k-1} \). Dobbiamo quindi assicurarci che: 1. \( A = 1 > 0 \) (che è sempre vero) 2. \( B = \frac{k}{k-1} > 0 \) Per \( B > 0 \), dobbiamo che: \[ \frac{k}{k-1} > 0 \] Questa disuguaglianza è vera quando: - \( k > 1 \) (quindi \( k-1 > 0 \) e \( k > 0 \)) - \( k < 0 \) (quindi \( k-1 < 0 \) e \( k < 0 \)) Quindi, l'equazione rappresenta un'ellisse per \( k < 0 \) o \( k > 1 \). La risposta corretta è: (D) rappresenta un'ellisse per \( k<0 \vee k>1 \)