El valor promedio de una función \( f \) continua y no negativa en un intervalo \( [a, b] \), se define como el área debajo de la gratrca cue J ulvirumua entre \( b-a \). Si \( f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} \), entonces el valor promedio de \( f(x) \) en el intervalo \( [-1,1] \) es: Nota: Si el valor calculado es por ejemplo \( \frac{1}{3}=0.3333 \ldots \), en el recuadro de respuesta solo se debe ingresar 0,3 , o si el valor es 6.2831 , en el recuadro de respuesta solo se debe ingresar 6,2 . Observe además que los números con dígitos decimales se ingresan con coma y no con punto. Respuesta:

Para encontrar el valor promedio de la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) en el intervalo \( [-1, 1] \), primero necesitamos calcular la integral de la función en ese intervalo. La integral de una función \( f(x) \) en un intervalo \( [a, b] \) se define como: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] En este caso, la función es \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) y el intervalo es \( [-1, 1] \). Para calcular la integral, podemos usar la fórmula de la integral de la función racional \( \frac{1}{x^2 + 1} \), que es: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C \] Donde \( C \) es la constante de integración. Ahora, para encontrar el valor promedio de la función en el intervalo \( [-1, 1] \), necesitamos calcular la integral de la función en ese intervalo y luego dividir el resultado por la longitud del intervalo, que es \( 1 - (-1) = 2 \). Vamos a calcular la integral de la función en el intervalo \( [-1, 1] \) y luego encontraremos el valor promedio. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \frac{1}{x^{2}+1} dx\) - step2: Evaluate the integral: \(\arctan\left(x\right)\) - step3: Return the limits: \(\left(\arctan\left(x\right)\right)\bigg |_{-1}^{1}\) - step4: Calculate the value: \(\frac{\pi }{2}\) El valor de la integral de la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) en el intervalo \( [-1, 1] \) es \( \frac{\pi}{2} \) o aproximadamente 1.570796. Para encontrar el valor promedio de la función en el intervalo \( [-1, 1] \), dividimos el resultado de la integral por la longitud del intervalo, que es 2. \[ \text{Valor promedio} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \] Por lo tanto, el valor promedio de la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) en el intervalo \( [-1, 1] \) es \( \frac{\pi}{4} \) o aproximadamente 0.785398.