\( 5 / 3 \) Utilice las propiedades de las pro \( [p \rightarrow(q \rightarrow r)] \wedge(p \rightarrow q) \Rightarrow(p \rightarrow r) \)

Para demostrar la expresión lógica \( [p \rightarrow (q \rightarrow r)] \wedge (p \rightarrow q) \Rightarrow (p \rightarrow r) \) utilizando las propiedades de las proposiciones, podemos seguir un enfoque de deducción natural o utilizar tablas de verdad. Aquí, optaremos por un enfoque de deducción natural. ### Paso 1: Suposiciones 1. Supongamos \( [p \rightarrow (q \rightarrow r)] \) (Premisa 1) 2. Supongamos \( (p \rightarrow q) \) (Premisa 2) ### Paso 2: Demostración Queremos demostrar que \( p \rightarrow r \). 3. Supongamos \( p \) (Suposición para la introducción de la implicación) ### Paso 3: Aplicar las premisas 4. De la suposición \( p \) y la premisa 2 \( (p \rightarrow q) \), podemos concluir \( q \) (Modus Ponens). 5. Ahora, tenemos \( q \) y podemos usar la premisa 1 \( [p \rightarrow (q \rightarrow r)] \). Dado que \( p \) es verdadero, podemos concluir \( q \rightarrow r \) (Modus Ponens). 6. Ahora, con \( q \) verdadero, podemos aplicar \( q \rightarrow r \) para concluir \( r \) (Modus Ponens). ### Paso 4: Conclusión 7. Hemos demostrado que si \( p \) es verdadero, entonces \( r \) también es verdadero. Por lo tanto, podemos concluir que \( p \rightarrow r \). ### Paso 5: Conclusión final Hemos demostrado que: \[ [p \rightarrow (q \rightarrow r)] \wedge (p \rightarrow q) \Rightarrow (p \rightarrow r) \] Esto completa la demostración utilizando las propiedades de las proposiciones.