Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x+\frac{2}{e^{x}}-1 \) a) Arătați că \( f^{\prime}(x)=\frac{2\left(e^{x}-1\right)}{e^{x}}, x \in \mathbb{R} \)

Pentru a arăta că derivata funcției \( f(x) = 2x + \frac{2}{e^x} - 1 \) este \( f'(x) = \frac{2(e^x - 1)}{e^x} \), vom calcula derivata \( f'(x) \) pas cu pas. 1. **Calculul derivatei**: - Derivata primei părți, \( 2x \), este \( 2 \). - Derivata celei de-a doua părți, \( \frac{2}{e^x} \), se poate calcula folosind regula derivării unei funcții de forma \( \frac{c}{g(x)} \), unde \( c \) este o constantă și \( g(x) = e^x \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{e^x}\right) = -\frac{2 \cdot e^x'}{(e^x)^2} = -\frac{2 \cdot e^x}{(e^x)^2} = -\frac{2}{e^x}. \] - Derivata constantei \( -1 \) este \( 0 \). 2. **Combinarea derivatelor**: - Așadar, derivata funcției \( f(x) \) este: \[ f'(x) = 2 - \frac{2}{e^x}. \] 3. **Simplificarea expresiei**: - Putem scrie \( f'(x) \) astfel: \[ f'(x) = 2 - \frac{2}{e^x} = \frac{2e^x}{e^x} - \frac{2}{e^x} = \frac{2e^x - 2}{e^x} = \frac{2(e^x - 1)}{e^x}. \] Astfel, am arătat că: \[ f'(x) = \frac{2(e^x - 1)}{e^x}, \quad x \in \mathbb{R}. \]