\( A=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & 1 \\ -1 & x & -2 \\ 1 & 3 & x\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ccc}3 & -3 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \\ 7 & -9 & 11\end{array}\right) \) Determinar el valor de \( x \in R \), tal que \( A \cdot B=C \)

Para encontrar el valor de \( x \) tal que \( A \cdot B = C \), primero realizamos la multiplicación de las matrices \( A \) y \( B \). La matriz \( A \) es: \[ A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ -1 & x & -2 \\ 1 & 3 & x \end{pmatrix} \] Y la matriz \( B \) es: \[ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Multiplicamos \( A \) y \( B \): \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ -1 & x & -2 \\ 1 & 3 & x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \] Calculamos cada elemento de la matriz resultante \( A \cdot B \): 1. Primer fila: - \( (x \cdot 1) + (1 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = x + 2 \) - \( (x \cdot -1) + (1 \cdot -3) + (1 \cdot 1) = -x - 3 + 1 = -x - 2 \) - \( (x \cdot 1) + (1 \cdot 4) + (1 \cdot -2) = x + 4 - 2 = x + 2 \) 2. Segunda fila: - \( (-1 \cdot 1) + (x \cdot 2) + (-2 \cdot 0) = -1 + 2x \) - \( (-1 \cdot -1) + (x \cdot -3) + (-2 \cdot 1) = 1 - 3x - 2 = -3x - 1 \) - \( (-1 \cdot 1) + (x \cdot 4) + (-2 \cdot -2) = -1 + 4x + 4 = 4x + 3 \) 3. Tercer fila: - \( (1 \cdot 1) + (3 \cdot 2) + (x \cdot 0) = 1 + 6 = 7 \) - \( (1 \cdot -1) + (3 \cdot -3) + (x \cdot 1) = -1 - 9 + x = x - 10 \) - \( (1 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (x \cdot -2) = 1 + 12 - 2x = 13 - 2x \) Por lo tanto, la matriz resultante \( A \cdot B \) es: \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} x + 2 & -x - 2 & x + 2 \\ 2x - 1 & -3x - 1 & 4x + 3 \\ 7 & x - 10 & 13 - 2x \end{pmatrix} \] Ahora igualamos \( A \cdot B \) a \( C \): \[ C = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \\ 7 & -9 & 11 \end{pmatrix} \] Igualamos cada elemento correspondiente: 1. \( x + 2 = 3 \) 2. \( -x - 2 = -3 \) 3. \( x + 2 = 3 \) 4. \( 2x - 1 = 1 \) 5. \( -3x - 1 = 4 \) 6. \( 4x + 3 = 7 \) 7. \( 7 = 7 \) (esto es siempre cierto) 8. \( x - 10 = -9 \) 9. \( 13 - 2x = 11 \) Ahora resolvemos las ecuaciones: 1. De \( x + 2 = 3 \): \[ x = 1 \] 2. De \( -x - 2 = -3 \): \[ -x