Ejercicio 3 Calcule intervalos de confianza del \( 95 \% \) para la proporción de artículos defectuosos que resultan de un proceso cuando se encuentra que una muestra de tamaño 100 produce 8 defectuosos. ¿Qué tamaño debería tener una muestra si deseamos tener un \( 90 \% \) de confianza con un error máximo del 5\% de la proporción verdadera de defectuosos?

Para calcular el intervalo de confianza del \( 95\% \) para la proporción de artículos defectuosos, utilizamos la fórmula del intervalo de confianza para una proporción: \[ \hat{p} \pm Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \] donde: - \(\hat{p}\) es la proporción muestral, - \(Z\) es el valor crítico de la distribución normal para el nivel de confianza deseado, - \(n\) es el tamaño de la muestra. ### Paso 1: Calcular la proporción muestral \(\hat{p}\) En este caso, tenemos: - Número de artículos defectuosos = 8 - Tamaño de la muestra \(n = 100\) La proporción muestral \(\hat{p}\) se calcula como: \[ \hat{p} = \frac{\text{número de defectuosos}}{n} = \frac{8}{100} = 0.08 \] ### Paso 2: Determinar el valor crítico \(Z\) Para un nivel de confianza del \(95\%\), el valor crítico \(Z\) es aproximadamente \(1.96\). ### Paso 3: Calcular el error estándar El error estándar (EE) se calcula como: \[ EE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.08(1 - 0.08)}{100}} = \sqrt{\frac{0.08 \cdot 0.92}{100}} = \sqrt{\frac{0.0736}{100}} = \sqrt{0.000736} \approx 0.0271 \] ### Paso 4: Calcular el intervalo de confianza Ahora podemos calcular el intervalo de confianza: \[ IC = \hat{p} \pm Z \cdot EE = 0.08 \pm 1.96 \cdot 0.0271 \] Calculamos el margen de error: \[ 1.96 \cdot 0.0271 \approx 0.0532 \] Por lo tanto, el intervalo de confianza es: \[ IC = 0.08 \pm 0.0532 \] Esto nos da: \[ IC = (0.08 - 0.0532, 0.08 + 0.0532) = (0.0268, 0.1332) \] ### Resumen del intervalo de confianza El intervalo de confianza del \(95\%\) para la proporción de artículos defectuosos es aproximadamente \((0.0268, 0.1332)\). --- ### Parte 2: Calcular el tamaño de la muestra para un \(90\%\) de confianza Para determinar el tamaño de la muestra necesario para un nivel de confianza del \(90\%\) con un error máximo del \(5\%\), utilizamos la fórmula: \[ n = \left( \frac{Z^2 \cdot \hat{p}(1 - \hat{p})}{E^2} \right) \] donde: - \(E\) es el error máximo permitido (en este caso, \(0.05\)), - \(\hat{p}\) es la proporción estimada (usaremos \(0.08\) como estimación), - \(Z\) es el valor crítico para un \(90\%\) de confianza, que es aproximadamente \(1.645\). ### Paso 1: Calcular el tamaño de la muestra Sustituyendo los valores: \[ n = \left( \frac{(1.645)^2 \cdot 0.08(1 - 0.08)}{(0.05)^2} \right) \] Calculamos: \[ n = \left( \frac{(1.645)^2 \cdot 0.08 \cdot 0.92}{0.0025} \right) \] Calculamos \( (1.645)^2 \): \[ (1.645)^2 \approx 2.706 \] Ahora sustituimos: \[ n = \left( \frac{2.706 \cdot 0.08 \cdot 0.92}{0.0025} \right) \approx \left( \frac{0.199 \cdot 0.92}{0.0025} \right) \approx \left( \frac{0.18368}{0.0025} \right) \approx 73.472 \] ### Paso 2: