Área personal Mis cursos Línea recta La ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas \( x+2 y=1 \) y \( 3 x+2 y=5 \) y que es paralela a la recta \( 3 x-2 y=4 \) es:

Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas \(x + 2y = 1\) y \(3x + 2y = 5\) y que es paralela a la recta \(3x - 2y = 4\), primero necesitamos encontrar el punto de intersección de las dos rectas dadas. Para encontrar el punto de intersección, podemos resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de las rectas: \[ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} \] Vamos a resolver este sistema de ecuaciones para encontrar el punto de intersección. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}x+2y=1\\3x+2y=5\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x=1-2y\\3x+2y=5\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x:\) \(3\left(1-2y\right)+2y=5\) - step3: Simplify: \(3-4y=5\) - step4: Move the constant to the right side: \(-4y=5-3\) - step5: Subtract the numbers: \(-4y=2\) - step6: Change the signs: \(4y=-2\) - step7: Divide both sides: \(\frac{4y}{4}=\frac{-2}{4}\) - step8: Divide the numbers: \(y=-\frac{1}{2}\) - step9: Substitute the value of \(y:\) \(x=1-2\left(-\frac{1}{2}\right)\) - step10: Simplify: \(x=2\) - step11: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\) - step12: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\) - step13: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(2,-\frac{1}{2}\right)\) El punto de intersección de las rectas \(x + 2y = 1\) y \(3x + 2y = 5\) es \((2, -\frac{1}{2})\) o \((2, -0.5)\). Ahora que tenemos el punto de intersección, podemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por este punto y es paralela a la recta \(3x - 2y = 4\). Dado que la recta que queremos encontrar es paralela a la recta \(3x - 2y = 4\), su pendiente será la misma. La pendiente de la recta \(3x - 2y = 4\) se puede encontrar reescribiendo la ecuación en la forma \(y = mx + b\), donde \(m\) es la pendiente. Reescribiendo la ecuación \(3x - 2y = 4\) en la forma \(y = mx + b\), obtenemos: \[ y = \frac{3}{2}x - 2 \] Por lo tanto, la pendiente de la recta \(3x - 2y = 4\) es \(\frac{3}{2}\). Dado que la recta que queremos encontrar es paralela a esta recta, su pendiente también será \(\frac{3}{2}\). Ahora, podemos usar la fórmula de la recta que pasa por un punto \((x_1, y_1)\) con pendiente \(m\) para encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección \((2, -\frac{1}{2})\) con pendiente \(\frac{3}{2}\). La fórmula de la recta es: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos: \[ y - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}(x - 2) \] Simplificando la ecuación, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección y es paralela a la recta \(3x - 2y = 4\). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(y\): \(y+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\left(x-2\right)\) - step1: Multiply the terms: \(y+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x-3\) - step2: Move the constant to the right side: \(y=\frac{3}{2}x-3-\frac{1}{2}\) - step3: Subtract the terms: \(y=\frac{3x-7}{2}\) La ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas \(x + 2y = 1\) y \(3x + 2y = 5\) y que es paralela a la recta \(3x - 2y = 4\) es: \[ y = \frac{3x - 7}{2} \]