EXERCICE 3 Soit $$ f $$ une fonction numérique définie sur $$ \mathbb{R}^{+} $$par: $$ f(x)=1-x \sqrt[3]{x} $$ 1. Montrer que $$ f $$ est continue sur $$ \mathbb{R}^{+} $$. 2. Calculer $$ \lim _{x ightarrow+\infty} f(x) $$ 3. Etudier la dérivabilité de $$ f $$ à droite en 0 . Puis Interpréter géométriquement le résultat obtenu. 4. Calculer $$ f^{\prime}(x) $$ pour tout $$ x $$ de $$ \mathbb{R}^{+} $$et dresser le tableau de variations de f $$ f $$ 5. Montrer que f admet une fonction réciproque $$ f^{-1} $$ sur un intervalle $$ J $$ que $$ \mathrm{I}^{\prime} $$ on déterminera. 6. Déterminer $$ f^{-1} $$ pour tout $$ x $$ de $$ J $$ 7. On considère la fonction F definie sur $$ ]-\infty ; 1] $$ par $$ \left\{\begin{aligned} F(x)=\frac{f^{-1}(x)-1}{x} ; x
eq 0 \ F(0)=\frac{-3}{4}\end{aligned} ight. $$ Montrer que F est continue en 0

Question

EXERCICE 3 Soit $$ f $$ une fonction numérique définie sur $$ \mathbb{R}^{+} $$par: $$ f(x)=1-x \sqrt[3]{x} $$ 1. Montrer que $$ f $$ est continue sur $$ \mathbb{R}^{+} $$. 2. Calculer $$ \lim _{x ightarrow+\infty} f(x) $$ 3. Etudier la dérivabilité de $$ f $$ à droite en 0 . Puis Interpréter géométriquement le résultat obtenu. 4. Calculer $$ f^{\prime}(x) $$ pour tout $$ x $$ de $$ \mathbb{R}^{+} $$et dresser le tableau de variations de f $$ f $$ 5. Montrer que f admet une fonction réciproque $$ f^{-1} $$ sur un intervalle $$ J $$ que $$ \mathrm{I}^{\prime} $$ on déterminera. 6. Déterminer $$ f^{-1} $$ pour tout $$ x $$ de $$ J $$ 7. On considère la fonction F definie sur $$ ]-\infty ; 1] $$ par $$ \left\{\begin{aligned} F(x)=\frac{f^{-1}(x)-1}{x} ; x 
eq 0 \ F(0)=\frac{-3}{4}\end{aligned}ight. $$ Montrer que F est continue en 0

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1. $$ f $$ is continuous on $$ \mathbb{R}^{+} $$. 2. $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) = -\infty $$. 3. $$ f $$ is differentiable from the right at 0 with $$ f'(0^+) = 0 $$. Geometrically, this means the tangent to the curve of $$ f $$ at $$ x = 0 $$ is horizontal. 4. $$ f'(x) = -\frac{4}{3} x^{1/3} $$, and $$ f $$ is decreasing on $$ \mathbb{R}^{+} $$. 5. $$ f $$ has an inverse function $$ f^{-1} $$ on the interval $$ J = ]-\infty, 1] $$. 6. $$ f^{-1}(y) = (1 - y)^{3/4} $$. 7. $$ F $$ is continuous at 0.

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