\( (k-2) x^{2}-2 k x+(k+1)=0 \), con \( k \neq 2 \); a. le radici sono reali; b. la somma delle radici è positiva; c. il prodotto delle radici è uguale al quadruplo della loro somma.

Per analizzare l'equazione quadratica \( (k-2)x^2 - 2kx + (k+1) = 0 \), possiamo utilizzare le proprietà delle radici di un'equazione quadratica. Le radici di un'equazione del tipo \( ax^2 + bx + c = 0 \) sono date dalle formule: - Somma delle radici: \( S = -\frac{b}{a} \) - Prodotto delle radici: \( P = \frac{c}{a} \) In questo caso, abbiamo: - \( a = k - 2 \) - \( b = -2k \) - \( c = k + 1 \) ### a. Le radici sono reali Le radici sono reali se il discriminante \( D \) è maggiore o uguale a zero. Il discriminante è dato da: \[ D = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4(k-2)(k+1) \] Calcoliamo il discriminante: \[ D = 4k^2 - 4[(k-2)(k+1)] \] \[ = 4k^2 - 4(k^2 + k - 2) \] \[ = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 8 \] \[ = -4k + 8 \] Affinché le radici siano reali, dobbiamo avere: \[ -4k + 8 \geq 0 \] \[ 8 \geq 4k \] \[ 2 \geq k \] Quindi, per le radici siano reali, \( k \) deve essere minore o uguale a 2. ### b. La somma delle radici è positiva La somma delle radici è: \[ S = -\frac{b}{a} = -\frac{-2k}{k-2} = \frac{2k}{k-2} \] Affinché la somma delle radici sia positiva, dobbiamo avere: \[ \frac{2k}{k-2} > 0 \] Questo si verifica quando: 1. \( 2k > 0 \) e \( k - 2 > 0 \) (cioè \( k > 0 \) e \( k > 2 \)) - impossibile poiché \( k \) non può essere maggiore di 2. 2. \( 2k < 0 \) e \( k - 2 < 0 \) (cioè \( k < 0 \) e \( k < 2 \)) - questa condizione è valida. Quindi, la somma delle radici è positiva se \( k < 0 \). ### c. Il prodotto delle radici è uguale al quadruplo della loro somma Il prodotto delle radici è: \[ P = \frac{c}{a} = \frac{k+1}{k-2} \] Dobbiamo verificare se: \[ P = 4S \] Sostituendo \( S \): \[ \frac{k+1}{k-2} = 4 \cdot \frac{2k}{k-2} \] Semplificando: \[ \frac{k+1}{k-2} = \frac{8k}{k-2} \] Poiché \( k - 2 \neq 0 \) (dato che \( k \neq 2 \)), possiamo moltiplicare entrambi i membri per \( k - 2 \): \[ k + 1 = 8k \] \[ 1 = 7k \] \[ k = \frac{1}{7} \] ### Conclusione Riassumendo: - Le radici sono reali se \( k \leq 2 \). - La somma delle radici è positiva se \( k < 0 \). - Il prodotto delle radici è uguale al quadruplo della loro somma se \( k = \frac{1}{7} \). Pertanto, le condizioni a, b e c non possono essere soddisfatte simultaneamente per nessun valore di \( k \) che soddisfi tutte le condizioni.