1. Localice cada uno de los siguientes puntos que tienen los conjuntos de coordenadas polares: \( \left.a)\left(2, \frac{1}{4} \pi\right) ; b\right)\left(5, \frac{1}{2} \pi\right) \); c) \( \left.\left(4, \frac{1}{3} \pi\right) ; d\right)\left(\frac{2}{5},-\pi\right) \)

Para localizar los puntos dados en coordenadas polares, convertiremos cada uno de ellos a coordenadas cartesianas utilizando las siguientes fórmulas: \[ x = r \cdot \cos(\theta) \] \[ y = r \cdot \sin(\theta) \] donde \( r \) es la distancia desde el origen y \( \theta \) es el ángulo en radianes. ### a) \( (2, \frac{1}{4} \pi) \) - \( r = 2 \) - \( \theta = \frac{1}{4} \pi \) Calculamos \( x \) y \( y \): \[ x = 2 \cdot \cos\left(\frac{1}{4} \pi\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] \[ y = 2 \cdot \sin\left(\frac{1}{4} \pi\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Por lo tanto, el punto en coordenadas cartesianas es \( \left(\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) \). ### b) \( (5, \frac{1}{2} \pi) \) - \( r = 5 \) - \( \theta = \frac{1}{2} \pi \) Calculamos \( x \) y \( y \): \[ x = 5 \cdot \cos\left(\frac{1}{2} \pi\right) = 5 \cdot 0 = 0 \] \[ y = 5 \cdot \sin\left(\frac{1}{2} \pi\right) = 5 \cdot 1 = 5 \] Por lo tanto, el punto en coordenadas cartesianas es \( (0, 5) \). ### c) \( (4, \frac{1}{3} \pi) \) - \( r = 4 \) - \( \theta = \frac{1}{3} \pi \) Calculamos \( x \) y \( y \): \[ x = 4 \cdot \cos\left(\frac{1}{3} \pi\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \] \[ y = 4 \cdot \sin\left(\frac{1}{3} \pi\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \] Por lo tanto, el punto en coordenadas cartesianas es \( (2, 2\sqrt{3}) \). ### d) \( \left(\frac{2}{5}, -\pi\right) \) - \( r = \frac{2}{5} \) - \( \theta = -\pi \) Calculamos \( x \) y \( y \): \[ x = \frac{2}{5} \cdot \cos(-\pi) = \frac{2}{5} \cdot (-1) = -\frac{2}{5} \] \[ y = \frac{2}{5} \cdot \sin(-\pi) = \frac{2}{5} \cdot 0 = 0 \] Por lo tanto, el punto en coordenadas cartesianas es \( \left(-\frac{2}{5}, 0\right) \). ### Resumen de los puntos en coordenadas cartesianas: - a) \( \left(\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) \) - b) \( (0, 5) \) - c) \( (2, 2\sqrt{3}) \) - d) \( \left(-\frac{2}{5}, 0\right) \)