The cost, in thousands of dollars, of airing \( x \) television commercials during a sports event is given by \[ C(x)=150+2,400 x-0.08 x^{2} \text {. } \] (a) Find the marginal cost function \( C^{\prime}(x) \). \( C^{\prime}(x)=2400-0.16 x \) (b) Use the marginal cost to approximate the cost to air the 5 th commercial. Convert your answer to dollars. The cost to air the 5 th commercial is approximately 2399360 (c) What is the exact cost to air the 5th commercial? Convert your answer to dollars. The exact cost to air the 5 th commercial is dollars.

为了求解这个问题，我们需要按照以下步骤进行： ### (a) 求边际成本函数 \( C'(x) \) 首先，我们知道总成本函数 \( C(x) \) 为： \[ C(x) = 150 + 2400x - 0.08x^2 \] 边际成本函数 \( C'(x) \) 是总成本函数的导数。我们对 \( C(x) \) 求导： \[ C'(x) = \frac{d}{dx}(150 + 2400x - 0.08x^2) \] 逐项求导： \[ \frac{d}{dx}(150) = 0 \] \[ \frac{d}{dx}(2400x) = 2400 \] \[ \frac{d}{dx}(-0.08x^2) = -0.16x \] 因此，边际成本函数 \( C'(x) \) 为： \[ C'(x) = 2400 - 0.16x \] ### (b) 使用边际成本近似计算第5个电视广告的成本 我们需要计算 \( x = 5 \) 时的边际成本，然后将其乘以 \( x \) 来近似第5个广告的成本。 将 \( x = 5 \) 代入边际成本函数 \( C'(x) \)： \[ C'(5) = 2400 - 0.16 \times 5 \] \[ C'(5) = 2400 - 0.8 \] \[ C'(5) = 2399.2 \] 因此，第5个广告的成本近似为： \[ 2399.2 \times 5 = 11996 \text{ 千美元} \] 将千美元转换为美元： \[ 11996 \times 1000 = 1,199,600 \text{ 美元} \] ### (c) 计算第5个电视广告的确切成本 我们需要计算 \( x = 5 \) 时的总成本 \( C(5) \)。 将 \( x = 5 \) 代入总成本函数 \( C(x) \)： \[ C(5) = 150 + 2400 \times 5 - 0.08 \times 5^2 \] \[ C(5) = 150 + 12000 - 0.08 \times 25 \] \[ C(5) = 150 + 12000 - 2 \] \[ C(5) = 12048 \text{ 千美元} \] 将千美元转换为美元： \[ 12048 \times 1000 = 12,048,000 \text{ 美元} \] 因此，第5个电视广告的确切成本是 12,048,000 美元。