Al reducir la ecuación \( x^{2}+y^{2}+3 x=y(y+2)-3 \), a una forma ordinaria, se obtiene: Una circunferencifhcon centro en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y \( r=\sqrt{3} \) Una parábola con vértice en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y eje focal \( x=-\frac{3}{2} \) Una circunferencia con centro en \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y \( r=3 \) Una parábola con vértice en \( \left(\frac{3}{2},-\frac{3}{8}\right) \) y eje focal \( y=-\frac{3}{8} \)

Para reducir la ecuación \( x^{2}+y^{2}+3 x=y(y+2)-3 \) a una forma ordinaria, primero reorganizamos la ecuación. 1. Comencemos expandiendo el lado derecho: \[ y(y + 2) - 3 = y^2 + 2y - 3 \] 2. Ahora, reescribimos la ecuación original: \[ x^2 + y^2 + 3x = y^2 + 2y - 3 \] 3. Restamos \( y^2 \) de ambos lados: \[ x^2 + 3x = 2y - 3 \] 4. Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo: \[ x^2 + 3x - 2y + 3 = 0 \] 5. Aislamos \( y \): \[ 2y = x^2 + 3x + 3 \] \[ y = \frac{1}{2}(x^2 + 3x + 3) \] 6. Esta es la forma de una parábola. Para identificar sus características, podemos completar el cuadrado en la expresión \( x^2 + 3x + 3 \). - Tomamos \( x^2 + 3x \) y completamos el cuadrado: \[ x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \] Entonces, \[ y = \frac{1}{2}((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 3) \] \[ = \frac{1}{2}((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4}) \] \[ = \frac{1}{2}((x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}) \] \[ = \frac{1}{2}(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{8} \] 7. Ahora podemos ver que la parábola tiene su vértice en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y se abre hacia arriba. Por lo tanto, la respuesta correcta es: **Una parábola con vértice en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y eje focal \( x=-\frac{3}{2} \)**.