\begin{tabular}{l} 6. APLICA. Resuelve las ecuaciones. \\ a. \( \log _{3}(y-9)+\log _{3} 50 y=3 \) \\ b. \( \ln \left(x^{2}-4\right)=\ln (x+2) \) \\ c. \( \log _{5} \sqrt{y^{2}+17}=4 \) \\ d. \( 7^{x+1}=343 \) \\ \hline\end{tabular}

Vamos a resolver cada una de las ecuaciones paso a paso. ### a. \( \log _{3}(y-9)+\log _{3} 50 y=3 \) Utilizamos la propiedad de los logaritmos que dice que \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \): \[ \log_{3}((y-9) \cdot 50y) = 3 \] Esto implica que: \[ (y-9) \cdot 50y = 3^3 \] Calculamos \( 3^3 = 27 \): \[ 50y(y-9) = 27 \] Desarrollamos la ecuación: \[ 50y^2 - 450y - 27 = 0 \] Ahora aplicamos la fórmula cuadrática \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): Donde \( a = 50 \), \( b = -450 \), y \( c = -27 \): \[ b^2 - 4ac = (-450)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-27) = 202500 + 5400 = 207900 \] Calculamos la raíz cuadrada: \[ \sqrt{207900} = 456.5 \quad (\text{aproximadamente}) \] Ahora sustituimos en la fórmula cuadrática: \[ y = \frac{450 \pm 456.5}{100} \] Calculamos las dos soluciones: 1. \( y_1 = \frac{450 + 456.5}{100} = \frac{906.5}{100} = 9.065 \) 2. \( y_2 = \frac{450 - 456.5}{100} = \frac{-6.5}{100} = -0.065 \) Dado que \( y - 9 > 0 \) para que el logaritmo esté definido, solo aceptamos \( y = 9.065 \). ### b. \( \ln \left(x^{2}-4\right)=\ln (x+2) \) Igualamos los argumentos de los logaritmos: \[ x^2 - 4 = x + 2 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Factorizamos: \[ (x - 3)(x + 2) = 0 \] Las soluciones son: \[ x = 3 \quad \text{y} \quad x = -2 \] Verificamos que \( x^2 - 4 > 0 \) y \( x + 2 > 0 \): - Para \( x = 3 \): \( 3^2 - 4 = 5 > 0 \) y \( 3 + 2 = 5 > 0 \) (válido). - Para \( x = -2 \): \( (-2)^2 - 4 = 0 \) (no válido). Por lo tanto, la única solución es \( x = 3 \). ### c. \( \log _{5} \sqrt{y^{2}+17}=4 \) Reescribimos la ecuación: \[ \sqrt{y^2 + 17} = 5^4 \] Calculamos \( 5^4 = 625 \): \[ \sqrt{y^2 + 17} = 625 \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ y^2 + 17 = 625^2 \] Calculamos \( 625^2 = 390625 \): \[ y^2 + 17 = 390625 \] Restamos 17: \[ y^2 = 390608 \] Tomamos la raíz cuadrada: \[ y = \pm \sqrt{390608} \approx \pm 625.5 \] Ambas soluciones son válidas, así que \( y \approx 625.5 \) y \( y \approx -625.5 \). ### d. \( 7^{x+1}=343 \) Reconocemos que \( 343 = 7^3 \): \[ 7^{x+1} = 7^3 \] Igualamos los exponentes: \[ x + 1 = 3 \] Resolviendo para \( x \): \[ x = 3 - 1 = 2 \] ### Resumen de soluciones: - a. \( y \approx 9.065 \) - b. \( x = 3 \)