A particle \( P \) moves along the \( x \)-axis such that its distance, \( x \mathrm{~m} \), from the origin \( O \) at time \( t \) is given by \( x=\frac{t}{t^{2}+1} \) for \( t \geqslant 0 \). (i) Find the greatest distance of \( P \) from \( O \). (ii) Find the acceleration of \( P \) at the instant when \( P \) is at its greatest distance from \( O \). \( [\mathrm{N} 12 / \mathrm{P} 12 / 7] \) Ans: (i) 0.5 (ii) -0.5 \( 15-35 \)

为了求解这个问题，我们需要分两步进行： ### (i) 求粒子 \( P \) 从原点 \( O \) 的最大距离 1. **给定条件：** 粒子 \( P \) 沿 \( x \)-轴运动，其距离 \( x \) 随时间 \( t \) 的关系为： \[ x = \frac{t}{t^2 + 1}, \quad t \geq 0 \] 2. **求最大距离：** 我们需要找到 \( x \) 的最大值。为此，我们对 \( x \) 关于 \( t \) 求导，并令导数等于零，找到临界点。 首先求导： \[ \frac{dx}{dt} = \frac{(t^2 + 1) \cdot 1 - t \cdot 2t}{(t^2 + 1)^2} = \frac{t^2 + 1 - 2t^2}{(t^2 + 1)^2} = \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} \] 令导数等于零： \[ \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} = 0 \] 解得： \[ 1 - t^2 = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = 1 \quad (\text{因为 } t \geq 0) \] 3. **计算最大距离：** 将 \( t = 1 \) 代入 \( x \) 的表达式： \[ x = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5 \] 因此，粒子 \( P \) 从原点 \( O \) 的最大距离是 0.5 米。 ### (ii) 求粒子 \( P \) 在其最大距离时的加速度 1. **求加速度：** 加速度 \( a \) 是速度 \( v \) 对时间 \( t \) 的导数。首先，我们需要求出速度 \( v \)，即 \( \frac{dx}{dt} \)。 我们已经知道： \[ \frac{dx}{dt} = \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} \] 现在求加速度 \( a \)： \[ a = \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1 - t^2}{(t^2 + 1)^2} \right) \] 使用商的导数法则： \[ a = \frac{(t^2 + 1)^2 \cdot (-2t) - (1 - t^2) \cdot 2(t^2 + 1) \cdot 2t}{(t^2 + 1)^4} \] 简化： \[ a = \frac{-2t(t^2 + 1)^2 - 4t(1 - t^2)(t^2 + 1)}{(t^2 + 1)^4} \] 将 \( t = 1 \) 代入： \[ a = \frac{-2 \cdot 1 \cdot (1^2 + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - 1^2) \cdot (1^2 + 1)}{(1^2 + 1)^4} \] 进一步简化： \[ a = \frac{-2 \cdot 4 - 4 \cdot 0 \cdot 2}{16} = \frac{-8}{16} = -0.5 \] 因此，粒子 \( P \) 在其最大距离时的加速度是 -0.5 米每平方秒。 综上所述，答案是： (i) 0.5 米 (ii) -0.5 米每平方秒