Rowe John
09/19/2024 · Senior High School
\( 21 \mathrm{~A}=\{x: x \in \mathbb{N}, x<5\} \) \( x \mathscr{R} y \) se «dividendo \( x \) per \( y \) si ha come resto 1 o \( \operatorname{con} x, y \in \mathrm{A} \)
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Step-by-step Solution
L'insieme \( 21 \mathrm{~A} \) è definito come \( A = \{x: x \in \mathbb{N}, x < 5\} \). Quindi, \( A \) contiene i numeri naturali minori di 5, che sono:
\[
A = \{0, 1, 2, 3, 4\}
\]
La relazione \( x \mathscr{R} y \) è definita in due modi:
1. \( x \) diviso \( y \) ha come resto 1.
2. \( x \) e \( y \) appartengono all'insieme \( A \).
Ora, analizziamo la prima condizione. La divisione di \( x \) per \( y \) ha come resto 1 se esiste un intero \( k \) tale che:
\[
x = k \cdot y + 1
\]
Dobbiamo considerare i valori di \( x \) e \( y \) che appartengono all'insieme \( A \).
### Possibili coppie \( (x, y) \)
Esaminiamo le coppie \( (x, y) \) in \( A \):
- Se \( y = 1 \):
- \( x = 1 \) → \( 1 = 1 \cdot 1 + 0 \) (non soddisfa)
- \( x = 2 \) → \( 2 = 1 \cdot 1 + 1 \) (soddisfa)
- \( x = 3 \) → \( 3 = 2 \cdot 1 + 1 \) (soddisfa)
- \( x = 4 \) → \( 4 = 3 \cdot 1 + 1 \) (soddisfa)
- Se \( y = 2 \):
- \( x = 1 \) → \( 1 = 0 \cdot 2 + 1 \) (soddisfa)
- \( x = 2 \) → \( 2 = 1 \cdot 2 + 0 \) (non soddisfa)
- \( x = 3 \) → \( 3 = 1 \cdot 2 + 1 \) (soddisfa)
- \( x = 4 \) → \( 4 = 2 \cdot 2 + 0 \) (non soddisfa)
- Se \( y = 3 \):
- \( x = 1 \) → \( 1 = 0 \cdot 3 + 1 \) (soddisfa)
- \( x = 2 \) → \( 2 = 0 \cdot 3 + 2 \) (non soddisfa)
- \( x = 3 \) → \( 3 = 1 \cdot 3 + 0 \) (non soddisfa)
- \( x = 4 \) → \( 4 = 1 \cdot 3 + 1 \) (soddisfa)
- Se \( y = 4 \):
- \( x = 1 \) → \( 1 = 0 \cdot 4 + 1 \) (soddisfa)
- \( x = 2 \) → \( 2 = 0 \cdot 4 + 2 \) (non soddisfa)
- \( x = 3 \) → \( 3 = 0 \cdot 4 + 3 \) (non soddisfa)
- \( x = 4 \) → \( 4 = 1 \cdot 4 + 0 \) (non soddisfa)
### Risultato finale
Le coppie \( (x, y) \) che soddisfano la relazione \( x \mathscr{R} y \) sono:
- \( (2, 1) \)
- \( (3, 1) \)
- \( (4, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (3, 2) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (4, 3) \)
- \( (1, 4) \)
Quindi, la relazione \( \mathscr{R} \) è definita da queste coppie.
Quick Answer
The set \( 21 \mathrm{~A} \) contains the natural numbers less than 5: \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \). The relation \( x \mathscr{R} y \) holds if \( x \) divided by \( y \) leaves a remainder of 1. The pairs \( (x, y) \) that satisfy this relation are: \( (2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (3, 2), (1, 3), (4, 3), (1, 4) \).
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