\( \left. \begin{array} { l } { w ^ { 8 } + 9 \omega ^ { 4 } + 20 = } \\ { m ^ { 10 } - 13 m ^ { 5 } + 36 = } \\ { x ^ { 4 } + 17 x ^ { 2 } - 60 = } \\ { n ^ { 12 } - 10 n ^ { 6 } - 75 = } \\ { x ^ { 2 } + 2 x - 8 = } \end{array} \right. \)

Para resolver cada una de las ecuaciones dadas, procederemos una por una. 1. **Ecuación**: \( w^8 + 9\omega^4 + 20 = 0 \) Esta ecuación es un polinomio de grado 8. Para resolverla, podemos intentar hacer un cambio de variable, como \( y = \omega^4 \), lo que nos da \( w^8 + 9y + 20 = 0 \). Sin embargo, sin más información sobre \( w \) o \( \omega \), no podemos resolverla directamente. 2. **Ecuación**: \( m^{10} - 13m^5 + 36 = 0 \) Aquí podemos hacer un cambio de variable similar, usando \( z = m^5 \). Esto transforma la ecuación en \( z^2 - 13z + 36 = 0 \). Usamos la fórmula cuadrática: \[ z = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \] Esto nos da \( z = 9 \) y \( z = 4 \). Regresando a \( m \): - Si \( z = 9 \), entonces \( m^5 = 9 \) y \( m = 9^{1/5} \). - Si \( z = 4 \), entonces \( m^5 = 4 \) y \( m = 4^{1/5} \). 3. **Ecuación**: \( x^4 + 17x^2 - 60 = 0 \) Hacemos el cambio de variable \( y = x^2 \), lo que nos da \( y^2 + 17y - 60 = 0 \). Usamos la fórmula cuadrática: \[ y = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 240}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2} \] Esto nos da \( y = 3 \) y \( y = -20 \). Regresando a \( x \): - Si \( y = 3 \), entonces \( x^2 = 3 \) y \( x = \sqrt{3} \) o \( x = -\sqrt{3} \). - Si \( y = -20 \), no hay solución real. 4. **Ecuación**: \( n^{12} - 10n^6 - 75 = 0 \) Hacemos el cambio de variable \( z = n^6 \), lo que nos da \( z^2 - 10z - 75 = 0 \). Usamos la fórmula cuadrática: \[ z = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75)}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 300}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{10 \pm 20}{2} \] Esto nos da \( z = 15 \) y \( z = -5 \). Regresando a \( n \): - Si \( z = 15 \), entonces \( n^6 = 15 \) y \( n = 15^{1/6} \). - Si \( z = -5 \), no hay solución real. 5. **Ecuación**: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Esto nos da \( x = 2 \) y \( x = -4 \). Resumiendo las soluciones: 1. \( w^8 + 9\omega^4 + 20 = 0 \) (sin solución directa). 2. \( m = 9^{1/5}, 4^{1/5} \). 3. \( x = \sqrt{3}, -\sqrt{3} \). 4. \( n = 15^{1/6} \) (sin solución real para \( z = -5 \)). 5. \( x = 2, -4 \).