En los ejercicios siguientes, esbozar la curva representada por las ecuaciones paramétricas, indicando su sentido de desarrollo, y escribir la ecuación rectangular correspondiente, eliminando el parámetro: \( x=3-2 t, \quad y=2+3 t \)

Para esbozar la curva representada por las ecuaciones paramétricas \( x = 3 - 2t \) y \( y = 2 + 3t \), primero vamos a eliminar el parámetro \( t \) para obtener la ecuación rectangular. 1. **Despejamos \( t \) de la ecuación de \( x \)**: \[ x = 3 - 2t \implies 2t = 3 - x \implies t = \frac{3 - x}{2} \] 2. **Sustituimos \( t \) en la ecuación de \( y \)**: \[ y = 2 + 3t = 2 + 3\left(\frac{3 - x}{2}\right) = 2 + \frac{9 - 3x}{2} = 2 + \frac{9}{2} - \frac{3x}{2} \] \[ y = \frac{4}{2} + \frac{9}{2} - \frac{3x}{2} = \frac{13}{2} - \frac{3x}{2} \] 3. **Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar el denominador**: \[ 2y = 13 - 3x \] \[ 3x + 2y = 13 \] Ahora tenemos la ecuación rectangular de la curva: \[ 3x + 2y = 13 \] ### Esbozo de la curva La ecuación \( 3x + 2y = 13 \) representa una recta en el plano. Para esbozarla, podemos encontrar algunos puntos: - **Cuando \( x = 0 \)**: \[ 3(0) + 2y = 13 \implies 2y = 13 \implies y = \frac{13}{2} = 6.5 \] Punto: \( (0, 6.5) \) - **Cuando \( y = 0 \)**: \[ 3x + 2(0) = 13 \implies 3x = 13 \implies x = \frac{13}{3} \approx 4.33 \] Punto: \( \left(\frac{13}{3}, 0\right) \) ### Sentido de desarrollo Para determinar el sentido de desarrollo, observamos cómo cambian \( x \) y \( y \) a medida que \( t \) varía: - Cuando \( t \) aumenta, \( x = 3 - 2t \) disminuye (ya que tiene un coeficiente negativo) y \( y = 2 + 3t \) aumenta. Esto indica que la curva se desarrolla de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba. ### Resumen - **Ecuación rectangular**: \( 3x + 2y = 13 \) - **Sentido de desarrollo**: De derecha a izquierda y de abajo hacia arriba.