Temo: I dentidades trigonemé Resolver las siguientes I dentidades 1. \( \cot \alpha(\tan \alpha+\cot \alpha)=\csc ^{2} \alpha \)

Para resolver la identidad \( \cot \alpha(\tan \alpha+\cot \alpha)=\csc ^{2} \alpha \), comenzamos descomponiendo los términos en el lado izquierdo. Recordemos que: - \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) - \( \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \), por lo que \( \csc^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) Ahora, sustituimos \( \tan \alpha \) y \( \cot \alpha \) en la expresión: \[ \cot \alpha(\tan \alpha + \cot \alpha) = \cot \alpha\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) \] Simplificamos el término dentro del paréntesis: \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \] Dado que \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), podemos simplificar aún más: \[ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \] Ahora, sustituimos esto de nuevo en la expresión original: \[ \cot \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] Esto es igual a \( \csc^2 \alpha \): \[ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \csc^2 \alpha \] Por lo tanto, hemos demostrado que: \[ \cot \alpha(\tan \alpha + \cot \alpha) = \csc^2 \alpha \] La identidad es verdadera.