Задачи Докажите, что выпуклый четырёхуголь- ник \( A B C D \) является параллелограммом, если: а) \( \angle B A C=\angle A C D \) и \( \angle B C A=\angle D A C \); б) \( A B \| C D, \angle A=\angle C \).

Чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник \( ABCD \) является параллелограммом, рассмотрим оба случая отдельно. ### a) Доказательство для случая \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle DAC \) 1. **Запишем условия**: - \( \angle BAC = \angle ACD \) (1) - \( \angle BCA = \angle DAC \) (2) 2. **Используем свойства углов**: Из условия (1) следует, что треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) имеют равные углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \). Из условия (2) следует, что углы \( \angle BCA \) и \( \angle DAC \) также равны. 3. **Применим признак подобия треугольников**: Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACD \) являются соответственными углами, и поскольку у нас есть два равных угла в каждом из треугольников, то по признаку равенства углов \( \triangle ABC \sim \triangle ACD \). 4. **Сравнение сторон**: Поскольку треугольники подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} \] Следовательно, \( AB \cdot AD = AC \cdot AC \), что указывает на равенство отрезков. 5. **Заключение**: Таким образом, мы можем утверждать, что \( AB = CD \) и \( AD = BC \). Это означает, что противоположные стороны равны, что и является определением параллелограмма. ### б) Доказательство для случая \( AB \parallel CD \) и \( \angle A = \angle C \) 1. **Запишем условия**: - \( AB \parallel CD \) (1) - \( \angle A = \angle C \) (2) 2. **Используем свойства параллельных линий**: Если \( AB \parallel CD \), то углы \( \angle A \) и \( \angle C \) являются соответственными углами. Это означает, что если \( \angle A = \angle C \), то \( AB \) и \( CD \) не только параллельны, но и равны по длине. 3. **Сравнение сторон**: Поскольку \( AB \parallel CD \) и \( \angle A = \angle C \), то по свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, то есть \( AB = CD \) и \( AD = BC \). 4. **Заключение**: Таким образом, мы можем утверждать, что \( ABCD \) является параллелограммом, так как у него равны противоположные стороны. ### Итог В обоих случаях мы доказали, что выпуклый четырёхугольник \( ABCD \) является параллелограммом.