el producto entie \( (3+2 \sqrt{-3}) \) y \( (3-2 \sqrt{-1}) \) :

Para calcular el producto de los números complejos \( (3 + 2\sqrt{-3}) \) y \( (3 - 2\sqrt{-1}) \), primero podemos reescribir las raíces cuadradas de los números negativos en términos de \( i \), donde \( i = \sqrt{-1} \). Así, tenemos: \[ \sqrt{-3} = i\sqrt{3} \quad \text{y} \quad \sqrt{-1} = i \] Por lo tanto, podemos reescribir los números complejos como: \[ 3 + 2\sqrt{-3} = 3 + 2i\sqrt{3} \] \[ 3 - 2\sqrt{-1} = 3 - 2i \] Ahora, multiplicamos estos dos números: \[ (3 + 2i\sqrt{3})(3 - 2i) \] Usamos la propiedad distributiva (o el método FOIL) para multiplicar: \[ = 3 \cdot 3 + 3 \cdot (-2i) + (2i\sqrt{3}) \cdot 3 + (2i\sqrt{3}) \cdot (-2i) \] Calculamos cada término: 1. \( 3 \cdot 3 = 9 \) 2. \( 3 \cdot (-2i) = -6i \) 3. \( (2i\sqrt{3}) \cdot 3 = 6i\sqrt{3} \) 4. \( (2i\sqrt{3}) \cdot (-2i) = -4i^2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) (ya que \( i^2 = -1 \)) Ahora sumamos todos los términos: \[ 9 - 6i + 6i\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \] Agrupamos los términos reales y los términos imaginarios: \[ (9 + 4\sqrt{3}) + (-6i + 6i\sqrt{3}) \] Por lo tanto, el producto de \( (3 + 2\sqrt{-3}) \) y \( (3 - 2\sqrt{-1}) \) es: \[ 9 + 4\sqrt{3} + (-6i + 6i\sqrt{3}) \] Esto se puede expresar como: \[ (9 + 4\sqrt{3}) + i(6\sqrt{3} - 6) \] Así que el resultado final es: \[ 9 + 4\sqrt{3} + i(6\sqrt{3} - 6) \]