Simmons Malone
12/04/2023 · Primary School
2. Determina, por el método gráfico del poligono, la magnitud de la resultante de las siguientes fuerzas concurrentes, así como el ángulo formado respecto al eje \( x \) positivo. Los ángu- los de las fuerzas están medidos con respecto al eje \( x \) positivo. \[ \vec{F}_{1}=200 \mathrm{Na} 30^{\circ} ; \vec{F}_{2}=300 \mathrm{Na} 90^{\circ} \] \[ \vec{F}_{3}=150 \mathrm{Na} 120^{\circ} ; \vec{F}_{4}=250 \mathrm{Na} 220^{\circ} \]
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Para determinar la magnitud de la resultante de las fuerzas concurrentes utilizando el método gráfico del polígono, primero debemos descomponer cada fuerza en sus componentes \( x \) e \( y \).
### Paso 1: Descomposición de las fuerzas
1. **Fuerza \( \vec{F}_{1} = 200 \, \text{N} \) a \( 30^\circ \)**:
\[
F_{1x} = 200 \cos(30^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 173.21 \, \text{N}
\]
\[
F_{1y} = 200 \sin(30^\circ) = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100 \, \text{N}
\]
2. **Fuerza \( \vec{F}_{2} = 300 \, \text{N} \) a \( 90^\circ \)**:
\[
F_{2x} = 300 \cos(90^\circ) = 0 \, \text{N}
\]
\[
F_{2y} = 300 \sin(90^\circ) = 300 \, \text{N}
\]
3. **Fuerza \( \vec{F}_{3} = 150 \, \text{N} \) a \( 120^\circ \)**:
\[
F_{3x} = 150 \cos(120^\circ) = 150 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -75 \, \text{N}
\]
\[
F_{3y} = 150 \sin(120^\circ) = 150 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 129.90 \, \text{N}
\]
4. **Fuerza \( \vec{F}_{4} = 250 \, \text{N} \) a \( 220^\circ \)**:
\[
F_{4x} = 250 \cos(220^\circ) = 250 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -125 \, \text{N}
\]
\[
F_{4y} = 250 \sin(220^\circ) = 250 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx -216.51 \, \text{N}
\]
### Paso 2: Sumar las componentes
Ahora sumamos las componentes \( x \) e \( y \) de todas las fuerzas:
\[
R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} = 173.21 + 0 - 75 - 125 = -26.79 \, \text{N}
\]
\[
R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} = 100 + 300 + 129.90 - 216.51 \approx 313.39 \, \text{N}
\]
### Paso 3: Magnitud de la resultante
La magnitud de la fuerza resultante \( \vec{R} \) se calcula usando el teorema de Pitágoras:
\[
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-26.79)^2 + (313.39)^2} \approx \sqrt{715.84 + 98216.56} \approx \sqrt{98932.40} \approx 314.43 \, \text{N}
\]
### Paso 4: Ángulo de la resultante
El ángulo \( \theta \) que forma la resultante con el eje \( x \) positivo se calcula usando la tangente inversa:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{313.39}{-26.79}\right)
\]
Dado que \( R_x \) es negativo y \( R_y \) es positivo, el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante:
\[
\theta \approx 180^\circ + \tan^{-1}\left(\frac{313.39}{-26.79}\right) \approx 180^\circ - 86.25^\circ \approx 93.75^\circ
\]
### Resultados finales
- **Magnitud de la resultante**: \( R \approx 314.43 \, \text{N} \)
- **Ángulo respecto al eje \( x \) positivo**: \( \theta \approx 93.75^\circ \)
Estos resultados pueden ser representados gráficamente en un diagrama de fuerzas para visualizar la suma de las fuerzas.
Quick Answer
La magnitud de la resultante de las fuerzas es aproximadamente 314.43 N y el ángulo formado respecto al eje \( x \) positivo es aproximadamente 93.75 grados.
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