3. Seja \( T: E \rightarrow F \) uma transformação linear. Prove que, \( N(T)=\left\{0_{E}\right\} \) se, e somente se, \( T \) é INJETIVA. 4. Sejam \( S, T: E \rightarrow E \) transformaçôes lineares. Se \( N(T)=N(S)=\left\{0_{E}\right\} \) mostre que \( N(T \circ S)=\left\{0_{E}\right\} \), onde \( T \circ \) é a transformaçâo linear composta dada por \( (T \circ S)(u)=T(S(u)) \), com \( u \in E \). 5. Seja \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( T(x, y)=3 x+4 y \). Mostre que \( T \) é uma transformação linear.

Vamos abordar cada um dos itens solicitados. ### 3. Prova de que \( N(T) = \{0_E\} \) se, e somente se, \( T \) é injetiva. **(⇒)** Suponha que \( N(T) = \{0_E\} \). Para mostrar que \( T \) é injetiva, precisamos mostrar que se \( T(u) = T(v) \), então \( u = v \) para quaisquer \( u, v \in E \). Se \( T(u) = T(v) \), então \( T(u) - T(v) = 0 \). Isso implica que \( T(u - v) = 0 \). Como \( N(T) = \{0_E\} \), temos que \( u - v \) deve ser igual a \( 0_E \), ou seja, \( u = v \). Portanto, \( T \) é injetiva. **(⇐)** Agora, suponha que \( T \) é injetiva. Precisamos mostrar que \( N(T) = \{0_E\} \). Seja \( u \in N(T) \). Isso significa que \( T(u) = 0_F \). Como \( T \) é injetiva, a única solução para \( T(u) = 0_F \) é \( u = 0_E \). Portanto, \( N(T) \) contém apenas o vetor nulo, ou seja, \( N(T) = \{0_E\} \). Assim, concluímos que \( N(T) = \{0_E\} \) se, e somente se, \( T \) é injetiva. ### 4. Prova de que \( N(T \circ S) = \{0_E\} \) se \( N(T) = N(S) = \{0_E\} \). Seja \( u \in N(T \circ S) \). Isso significa que \( (T \circ S)(u) = 0_F \). Por definição de composição de funções, temos: \[ (T \circ S)(u) = T(S(u)) = 0_F. \] Como \( N(T) = \{0_E\} \), para que \( T(S(u)) = 0_F \), é necessário que \( S(u) \in N(T) \). Portanto, \( S(u) = 0_E \). Agora, como \( N(S) = \{0_E\} \), temos que \( S(u) = 0_E \) implica que \( u = 0_E \). Assim, \( u \) deve ser o vetor nulo. Portanto, concluímos que \( N(T \circ S) = \{0_E\} \). ### 5. Prova de que \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( T(x, y) = 3x + 4y \) é uma transformação linear. Para mostrar que \( T \) é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades: 1. **Aditividade**: Para quaisquer \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2 \), \[ T((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = 3(x_1 + x_2) + 4(y_1 + y_2) = (3x_1 + 4y_1) + (3x_2 + 4y_2) = T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2). \] 2. **Homogeneidade**: Para qualquer \( c \in \mathbb{R} \) e \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \), \[ T(c(x, y)) = T(cx, cy) = 3(cx) + 4(cy) = c(3x + 4y) = cT(x, y). \] Como ambas as propriedades são satisfeitas, concluímos que \( T \) é uma transformação linear.