84 On considère la suite \( \left(u_{n}\right) \) définie par \( u_{0}=0 \) et, pour tout entier naturel \( n, u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+3 \). 1. Calculer \( u_{1} \) et \( u_{2} \). 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n, u_{n} \geqslant n \). 3. En déduire que la suite \( \left(u_{n}\right) \) est croissante. 4. Soit la suite \( \left(v_{n}\right) \) définie, pour tout entier naturel \( n \), par \( v_{n}=u_{n}-n+1 \). a. Démontrer que la suite \( \left(v_{n}\right) \) est une suite géomé- trique de raison 3 . b. En déduire que, pour tout entier naturel \( n \) : \( \quad u_{n}=3^{n}+n-1 \). c. Calculer \( \sum_{k=0}^{100} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{100} \). On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \) : \( 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} \) et, pour \( q \neq 1 \) : d. ALco Écrire un algorithme en langage naturel qui calcule la somme ci-dessus.

4.2 Mpho and Tebogo worked for an old woman in their community by painting her house and cleaning the yard. They were each paid a total amount of R1 280,00 for the work they did. Mpho worked for 28 hrs and Tebogo worked for 36 hrs . 4.2.1 Write the hours that they worked as a simplified ratio. (2) 4.2.2 Calculate how much each of them should be paid.

\( \left. \begin{array} { l } { 2 ^ { a } = 3 ^ { m } = 5 ^ { a } = x } \\ { \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { a } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. \quad \Rightarrow x = ? \)

The microcontroller is

\( \left. \begin{array} { l } { 2 ^ { n } = 3 ^ { m } = 5 ^ { 0 } = x } \\ { \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { a } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. \Rightarrow x = 0 \)

7 Un'automobile viaggia su una strada diritta alla velocità di \( 123 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) quando l'autista agisce sui freni in modo da provocare un'accelerazione media di \( -3,11 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \). Dopo quanto tempo l'auto raggiunge la velocità di \( 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) ?