84 On considère la suite \( \left(u_{n}\right) \) définie par \( u_{0}=0 \) et, pour tout entier naturel \( n, u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+3 \). 1. Calculer \( u_{1} \) et \( u_{2} \). 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \( n, u_{n} \geqslant n \). 3. En déduire que la suite \( \left(u_{n}\right) \) est croissante. 4. Soit la suite \( \left(v_{n}\right) \) définie, pour tout entier naturel \( n \), par \( v_{n}=u_{n}-n+1 \). a. Démontrer que la suite \( \left(v_{n}\right) \) est une suite géomé- trique de raison 3 . b. En déduire que, pour tout entier naturel \( n \) : \( \quad u_{n}=3^{n}+n-1 \). c. Calculer \( \sum_{k=0}^{100} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{100} \). On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \) : \( 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} \) et, pour \( q \neq 1 \) : d. ALco Écrire un algorithme en langage naturel qui calcule la somme ci-dessus.
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