Diberi \( 2^{p}=5^{q}=50^{r} \), tunjukkan bahawa \( r=\frac{p q}{q+2} \) Given \( 2^{p}=5^{q}=50^{r} \), show that \( r=\frac{p q}{q+2 p} \)

Diberi persamaan \( 2^{p} = 5^{q} = 50^{r} \). Mari kita tetapkan nilai ini kepada satu pembolehubah, katakan \( k \). Maka kita boleh menulis: \[ 2^{p} = k, \quad 5^{q} = k, \quad 50^{r} = k \] Dari persamaan \( 2^{p} = k \), kita boleh menulis: \[ p = \log_{2}(k) \] Dari persamaan \( 5^{q} = k \), kita boleh menulis: \[ q = \log_{5}(k) \] Dari persamaan \( 50^{r} = k \), kita boleh menulis: \[ r = \log_{50}(k) \] Sekarang, kita perlu mengekspresikan \( r \) dalam bentuk \( p \) dan \( q \). Kita tahu bahawa \( 50 \) boleh ditulis sebagai \( 2 \cdot 5^{2} \), jadi kita boleh menulis: \[ \log_{50}(k) = \frac{\log_{10}(k)}{\log_{10}(50)} \] Di mana \( \log_{10}(50) = \log_{10}(2 \cdot 5^{2}) = \log_{10}(2) + 2\log_{10}(5) \). Oleh itu, kita boleh menulis: \[ r = \frac{\log_{10}(k)}{\log_{10}(2) + 2\log_{10}(5)} \] Sekarang, kita juga boleh mengekspresikan \( \log_{10}(k) \) dalam bentuk \( p \) dan \( q \): \[ \log_{10}(k) = \log_{10}(2^{p}) = p \log_{10}(2) \] dan \[ \log_{10}(k) = \log_{10}(5^{q}) = q \log_{10}(5) \] Oleh itu, kita mempunyai dua persamaan: 1. \( \log_{10}(k) = p \log_{10}(2) \) 2. \( \log_{10}(k) = q \log_{10}(5) \) Dari sini, kita boleh menyamakan kedua-dua persamaan: \[ p \log_{10}(2) = q \log_{10}(5) \] Dari persamaan ini, kita boleh menyelesaikan untuk \( \log_{10}(k) \): \[ \log_{10}(k) = p \log_{10}(2) = q \log_{10}(5) \] Sekarang, kita masukkan \( \log_{10}(k) \) ke dalam persamaan untuk \( r \): \[ r = \frac{p \log_{10}(2)}{\log_{10}(2) + 2\log_{10}(5)} \] Kita boleh menggantikan \( \log_{10}(5) \) dengan \( \frac{p \log_{10}(2)}{q} \): \[ \log_{10}(5) = \frac{p \log_{10}(2)}{q} \] Jadi, \[ \log_{10}(50) = \log_{10}(2) + 2 \cdot \frac{p \log_{10}(2)}{q} = \log_{10}(2) \left( 1 + \frac{2p}{q} \right) \] Sekarang kita masukkan ke dalam \( r \): \[ r = \frac{p \log_{10}(2)}{\log_{10}(2) \left( 1 + \frac{2p}{q} \right)} = \frac{p}{1 + \frac{2p}{q}} = \frac{pq}{q + 2p} \] Oleh itu, kita telah menunjukkan bahawa: \[ r = \frac{pq}{q + 2p} \] Ini membuktikan bahawa \( r = \frac{pq}{q + 2p} \).