Encuentra el punto que cumple las condiciones en cada caso. Justifica tu respuesta. 14. Halla el punto \( T \), ubicado en el eje \( y \), tal que esté a igual distancia de los puntos \( A(2,3) \) y \( B(6,5) \).

Para encontrar el punto \( T \) en el eje \( y \) que está a igual distancia de los puntos \( A(2,3) \) y \( B(6,5) \), primero definimos el punto \( T \) como \( T(0, y) \), ya que está en el eje \( y \) y su coordenada \( x \) es 0. La distancia entre \( T \) y \( A \) se puede calcular usando la fórmula de la distancia entre dos puntos: \[ d(T, A) = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{4 + (y - 3)^2} \] La distancia entre \( T \) y \( B \) es: \[ d(T, B) = \sqrt{(0 - 6)^2 + (y - 5)^2} = \sqrt{36 + (y - 5)^2} \] Para que \( T \) esté a igual distancia de \( A \) y \( B \), debemos igualar las dos distancias: \[ \sqrt{4 + (y - 3)^2} = \sqrt{36 + (y - 5)^2} \] Ahora, elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar las raíces: \[ 4 + (y - 3)^2 = 36 + (y - 5)^2 \] Desarrollamos ambos lados: \[ 4 + (y^2 - 6y + 9) = 36 + (y^2 - 10y + 25) \] Simplificamos: \[ 4 + y^2 - 6y + 9 = 36 + y^2 - 10y + 25 \] \[ 13 - 6y = 61 - 10y \] Ahora, movemos todos los términos relacionados con \( y \) a un lado y los constantes al otro lado: \[ 10y - 6y = 61 - 13 \] \[ 4y = 48 \] Dividimos ambos lados entre 4: \[ y = 12 \] Por lo tanto, el punto \( T \) es \( T(0, 12) \). **Justificación**: Hemos encontrado el punto \( T \) en el eje \( y \) que está a igual distancia de los puntos \( A(2,3) \) y \( B(6,5) \) al igualar las distancias y resolver la ecuación resultante. El punto \( T(0, 12) \) cumple con la condición requerida.