\begin{tabular}{l} Pregunta 6 \\ Se sientan en una mesa redonda 7 hombres y 4 mujeres en \\ forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que todas las \\ mujeres se sienten juntas. \\ Seleccione una: \\ a. \( \frac{2}{495} \) \\ b. \( \frac{1}{990} \) \\ c. \( \frac{1}{30} \) \\ d. \( \frac{4}{165} \) \\ Quitar mi elección \\ \hline\end{tabular}

Para encontrar la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas en una mesa redonda con 7 hombres y 4 mujeres, primero necesitamos determinar el número total de formas en que los 11 personas pueden sentarse en la mesa redonda y luego el número de formas en que todas las mujeres pueden sentarse juntas. 1. **Número total de formas en que 11 personas pueden sentarse en una mesa redonda:** - Al sentarse en una mesa redonda, no importa en qué orden se sienten las personas, ya que la mesa es circular. - Por lo tanto, el número total de formas en que 11 personas pueden sentarse en una mesa redonda es \( (11-1)! = 10! \). 2. **Número de formas en que todas las mujeres pueden sentarse juntas:** - Primero, consideramos a las 4 mujeres como un grupo único. - Luego, podemos considerar este grupo de mujeres y los 7 hombres como 8 entidades diferentes. - El número de formas en que 8 entidades pueden sentarse en una mesa redonda es \( (8-1)! = 7! \). - Dentro de este grupo de mujeres, las 4 mujeres pueden sentarse en 4! formas diferentes entre sí. Por lo tanto, el número de formas en que todas las mujeres pueden sentarse juntas es \( 7! \times 4! \). 3. **Probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas:** - La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es el número de formas en que todas las mujeres pueden sentarse juntas dividido por el número total de formas en que 11 personas pueden sentarse en la mesa redonda. - Por lo tanto, la probabilidad es \( \frac{7! \times 4!}{10!} \). Calculando esto, obtenemos la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas. Vamos a calcularlo. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 4\times 3\times 2\times 1\right)}{\left(10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 4\times 3\times 2\times 1}{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}\) - step2: Multiply the terms: \(\frac{120960}{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}\) - step3: Multiply the terms: \(\frac{120960}{3628800}\) - step4: Reduce the fraction: \(\frac{1}{30}\) La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas en la mesa redonda es \( \frac{1}{30} \). Por lo tanto, la respuesta correcta es: c. \( \frac{1}{30} \)