Dada la función \( f: \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{-1\} \), donde \( f(x)=\frac{x}{x-2} \) a. ¿La función es inyectiva? Si es inyectiva b. ¿La función es sobreyectiva? no es sobieyectiva i. ¿La función es biyectiva? ho es biyectiva.

Para analizar la función \( f(x) = \frac{x}{x-2} \) y determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, procederemos paso a paso. ### a. Inyectividad Una función es inyectiva si diferentes valores de entrada producen diferentes valores de salida. Es decir, si \( f(a) = f(b) \) implica que \( a = b \). Supongamos que \( f(a) = f(b) \): \[ \frac{a}{a-2} = \frac{b}{b-2} \] Multiplicamos en cruz: \[ a(b-2) = b(a-2) \] Desarrollamos: \[ ab - 2a = ab - 2b \] Restamos \( ab \) de ambos lados: \[ -2a = -2b \] Dividiendo ambos lados por -2: \[ a = b \] Dado que hemos demostrado que \( f(a) = f(b) \) implica \( a = b \), podemos concluir que la función \( f \) es inyectiva. ### b. Sobreyectividad Una función es sobreyectiva si para cada \( y \) en el codominio existe al menos un \( x \) en el dominio tal que \( f(x) = y \). Queremos ver si para cada \( y \in \mathbb{R} - \{-1\} \) existe un \( x \in \mathbb{R} - \{2\} \) tal que: \[ \frac{x}{x-2} = y \] Despejamos \( x \): \[ x = y(x - 2) \] \[ x = yx - 2y \] \[ x - yx = -2y \] \[ x(1 - y) = -2y \] \[ x = \frac{-2y}{1 - y} \] Para que \( x \) esté en el dominio \( \mathbb{R} - \{2\} \), debemos asegurarnos de que \( \frac{-2y}{1 - y} \neq 2 \): \[ \frac{-2y}{1 - y} = 2 \] Multiplicamos ambos lados por \( 1 - y \) (asumiendo \( y \neq 1 \)): \[ -2y = 2(1 - y) \] \[ -2y = 2 - 2y \] Esto es una contradicción, ya que se simplifica a \( 0 = 2 \). Por lo tanto, no hay valores de \( y \) que hagan que \( x = 2 \). Sin embargo, notamos que \( y \) no puede ser igual a -1, ya que si \( y = -1 \): \[ \frac{x}{x-2} = -1 \] Esto lleva a: \[ x = -1(x - 2) \] \[ x = -x + 2 \] \[ 2x = 2 \implies x = 1 \] El valor \( x = 1 \) está en el dominio, pero \( f(1) = -1 \), que está excluido del codominio. Por lo tanto, no hay un \( x \) que produzca \( y = -1 \). Dado que no todos los valores en el codominio tienen un preimagen en el dominio, la función no es sobreyectiva. ### i. Biyectividad Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Dado que hemos demostrado que \( f \) es inyectiva pero no sobreyectiva, podemos concluir que \( f \) no es biyectiva. ### Resumen - La función \( f(x) = \frac{x}{x-2} \) es **inyectiva**. - La función \( f(x) = \frac{x}{x-2} \) no es **sobreyectiva**. - Por lo tanto, la función no es **biyectiva**.