Pregunta 4: Demuestre que: \[ \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1\end{array}\right]\right)=(b-a)(c-a)(b-c) \] Este determinante se llama un determinante de Vandermonde

Para demostrar que \[ \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1\end{array}\right]\right)=(b-a)(c-a)(b-c), \] vamos a calcular el determinante de la matriz dada. La matriz es: \[ M = \begin{bmatrix} a^2 & a & 1 \\ b^2 & b & 1 \\ c^2 & c & 1 \end{bmatrix}. \] Usamos la regla de Sarrus o la expansión por cofactores para calcular el determinante de \(M\). El determinante de una matriz \(3 \times 3\) se calcula como: \[ \operatorname{det}(M) = a^2 \begin{vmatrix} b & 1 \\ c & 1 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} b^2 & 1 \\ c^2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} b^2 & b \\ c^2 & c \end{vmatrix}. \] Calculamos cada uno de los determinantes \(2 \times 2\): 1. Para el primer determinante: \[ \begin{vmatrix} b & 1 \\ c & 1 \end{vmatrix} = b \cdot 1 - c \cdot 1 = b - c. \] 2. Para el segundo determinante: \[ \begin{vmatrix} b^2 & 1 \\ c^2 & 1 \end{vmatrix} = b^2 \cdot 1 - c^2 \cdot 1 = b^2 - c^2 = (b - c)(b + c). \] 3. Para el tercer determinante: \[ \begin{vmatrix} b^2 & b \\ c^2 & c \end{vmatrix} = b^2 \cdot c - c^2 \cdot b = bc^2 - b^2c = b(c - b)(c). \] Sustituyendo estos resultados en la expresión del determinante: \[ \operatorname{det}(M) = a^2(b - c) - a(b^2 - c^2) + (b^2c - bc^2). \] Ahora, simplificamos: \[ = a^2(b - c) - a(b - c)(b + c) + (b^2c - bc^2). \] Factorizamos \(b - c\): \[ = (b - c) \left( a^2 - a(b + c) + (bc) \right). \] Ahora, observamos que \(a^2 - a(b + c) + bc\) es un trinomio cuadrático en \(a\). Para factorizarlo, buscamos sus raíces. Las raíces son \(b\) y \(c\), por lo que podemos escribir: \[ a^2 - a(b + c) + bc = (a - b)(a - c). \] Por lo tanto, el determinante se convierte en: \[ \operatorname{det}(M) = (b - c)(a - b)(a - c). \] Finalmente, reordenamos los factores: \[ \operatorname{det}(M) = (b - a)(c - a)(b - c). \] Esto completa la demostración de que: \[ \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1\end{array}\right]\right)=(b-a)(c-a)(b-c). \]