Carlos es 4 años mayor que Manuel y si se suman los cuadrados de las edades de ambos el resultado es de 136 ¿cuáles son las edades de Carlos y Manuel?

Para resolver este problema, primero vamos a establecer las variables que representan las edades de Carlos y Manuel. Sea: - \( C \) la edad de Carlos - \( M \) la edad de Manuel Dado que Carlos es 4 años mayor que Manuel, podemos expresar la edad de Carlos en términos de la edad de Manuel de la siguiente manera: \[ C = M + 4 \] Además, se nos dice que si se suman los cuadrados de las edades de ambos, el resultado es 136. Esto se puede expresar matemáticamente como: \[ C^2 + M^2 = 136 \] Ahora, podemos sustituir la expresión de la edad de Carlos en términos de la edad de Manuel en la segunda ecuación y resolver el sistema de ecuaciones resultante para encontrar las edades de Carlos y Manuel. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}C=M+4\\C^{2}+M^{2}=136\end{array}\right.\) - step1: Substitute the value of \(C:\) \(\left(M+4\right)^{2}+M^{2}=136\) - step2: Simplify: \(2M^{2}+8M+16=136\) - step3: Move the expression to the left side: \(2M^{2}+8M+16-136=0\) - step4: Subtract the numbers: \(2M^{2}+8M-120=0\) - step5: Factor the expression: \(2\left(M-6\right)\left(M+10\right)=0\) - step6: Divide the terms: \(\left(M-6\right)\left(M+10\right)=0\) - step7: Separate into possible cases: \(\begin{align}&M-6=0\\&M+10=0\end{align}\) - step8: Solve the equation: \(\begin{align}&M=6\\&M=-10\end{align}\) - step9: Calculate: \(M=6\cup M=-10\) - step10: Rearrange the terms: \(\left\{ \begin{array}{l}C=M+4\\M=6\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}C=M+4\\M=-10\end{array}\right.\) - step11: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}C=10\\M=6\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}C=-6\\M=-10\end{array}\right.\) - step12: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}C=-6\\M=-10\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}C=10\\M=6\end{array}\right.\) - step13: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}C=-6\\M=-10\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}C=10\\M=6\end{array}\right.\) - step14: Rewrite: \(\left(C,M\right) = \left(-6,-10\right)\cup \left(C,M\right) = \left(10,6\right)\) El sistema de ecuaciones tiene dos soluciones posibles para las edades de Carlos y Manuel: 1. Carlos tiene -6 años y Manuel tiene -10 años. 2. Carlos tiene 10 años y Manuel tiene 6 años. Dado que las edades no pueden ser negativas, la solución viable es que Carlos tiene 10 años y Manuel tiene 6 años.