Ejercicio 4 Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma perforar tres hoyos en cierta placa metálica. ¿De qué tamaño debe ser una muestra para tener un \( 95 \% \) de confianza en que esta media muestral estará dentro de 15 segundos de la media verdadera? Suponga que por estudios previos se sabe que \( \sigma=40 \) segundos.

Para determinar el tamaño de la muestra necesario para tener un \( 95\% \) de confianza en que la media muestral estará dentro de 15 segundos de la media verdadera, podemos utilizar la fórmula del tamaño de la muestra para una media muestral: \[ n = \left( \frac{Z \cdot \sigma}{E} \right)^2 \] Donde: - \( n \) es el tamaño de la muestra necesario. - \( Z \) es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza del \( 95\% \). Para un nivel de confianza del \( 95\% \), \( Z = 1.96 \). - \( \sigma \) es la desviación estándar conocida de la población, que en este caso es \( 40 \) segundos. - \( E \) es el margen de error permitido, que en este caso es \( 15 \) segundos. Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula, obtenemos: \[ n = \left( \frac{1.96 \cdot 40}{15} \right)^2 \] Calculando el tamaño de la muestra necesario, podemos determinar cuántos elementos debe incluir la muestra para cumplir con los requisitos de confianza. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\left(\frac{1.96\times 40}{15}\right)^{2}\) - step1: Multiply the numbers: \(\left(\frac{78.4}{15}\right)^{2}\) - step2: Divide the terms: \(\left(\frac{392}{75}\right)^{2}\) - step3: Use the properties of exponents: \(\frac{392^{2}}{75^{2}}\) - step4: Evaluate the power: \(\frac{392^{2}}{5625}\) El tamaño de la muestra necesario para tener un \( 95\% \) de confianza en que la media muestral estará dentro de 15 segundos de la media verdadera es aproximadamente \( 27.32 \) elementos. Por lo tanto, se recomienda tomar una muestra de al menos 28 elementos para cumplir con los requisitos de confianza.