Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo avente l'area di \( 504 \mathrm{~cm}^{2} \) e un cateto lungo 16 cm . [144 cm]

Per calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, dobbiamo prima determinare la lunghezza dell'altro cateto e dell'ipotenusa. Sappiamo che l'area \( A \) di un triangolo rettangolo è data dalla formula: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2 \] In questo caso, uno dei cateti è lungo 16 cm e l'area è 504 cm². Possiamo usare queste informazioni per trovare l'altro cateto. Sostituiamo i valori nella formula: \[ 504 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \text{cateto}_2 \] Moltiplichiamo entrambi i lati per 2: \[ 1008 = 16 \cdot \text{cateto}_2 \] Ora dividiamo entrambi i lati per 16: \[ \text{cateto}_2 = \frac{1008}{16} = 63 \text{ cm} \] Ora abbiamo entrambi i cateti: \( 16 \) cm e \( 63 \) cm. Possiamo ora calcolare l'ipotenusa \( c \) usando il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{(16)^2 + (63)^2} \] Calcoliamo i quadrati: \[ (16)^2 = 256 \] \[ (63)^2 = 3969 \] Sommiamo i risultati: \[ c = \sqrt{256 + 3969} = \sqrt{4225} \] Calcoliamo la radice quadrata: \[ c = 65 \text{ cm} \] Ora possiamo calcolare il perimetro \( P \) del triangolo rettangolo, che è dato dalla somma dei tre lati: \[ P = \text{cateto}_1 + \text{cateto}_2 + \text{ipotenusa} = 16 + 63 + 65 \] Calcoliamo il perimetro: \[ P = 16 + 63 + 65 = 144 \text{ cm} \] Quindi, il perimetro del triangolo rettangolo è \( \boxed{144} \) cm.