(4) \( \operatorname{sen}\left(30^{\circ}+\beta\right)-\cos \left(60^{\circ}+\beta\right)=\sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \)

为了求解方程 \( \operatorname{sen}(30^{\circ}+\beta) - \cos(60^{\circ}+\beta) = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \)，我们可以按照以下步骤进行： ### 步骤 1：使用三角函数的和角公式 首先，我们需要使用三角函数的和角公式来展开 \( \operatorname{sen}(30^{\circ}+\beta) \) 和 \( \cos(60^{\circ}+\beta) \)。 1. \( \operatorname{sen}(30^{\circ}+\beta) = \operatorname{sen} 30^{\circ} \operatorname{cos} \beta + \operatorname{cos} 30^{\circ} \operatorname{sen} \beta \) 2. \( \cos(60^{\circ}+\beta) = \cos 60^{\circ} \operatorname{cos} \beta - \sin 60^{\circ} \operatorname{sen} \beta \) ### 步骤 2：代入已知值 我们知道： - \( \operatorname{sen} 30^{\circ} = \frac{1}{2} \) - \( \operatorname{cos} 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \) - \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 代入这些值，我们得到： \[ \operatorname{sen}(30^{\circ}+\beta) = \frac{1}{2} \operatorname{cos} \beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta \] \[ \cos(60^{\circ}+\beta) = \frac{1}{2} \operatorname{cos} \beta - \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta \] ### 步骤 3：代入原方程 将上述结果代入原方程： \[ \frac{1}{2} \operatorname{cos} \beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta - \left( \frac{1}{2} \operatorname{cos} \beta - \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta \right) = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] ### 步骤 4：化简方程 化简方程： \[ \frac{1}{2} \operatorname{cos} \beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta - \frac{1}{2} \operatorname{cos} \beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{sen} \beta = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] \[ \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \] ### 步骤 5：得出结论 由于等式两边相等，因此原方程对于所有 \( \beta \) 都成立。 所以，方程 \( \operatorname{sen}(30^{\circ}+\beta) - \cos(60^{\circ}+\beta) = \sqrt{3} \operatorname{sen} \beta \) 对所有 \( \beta \) 都成立。