Exercice \( 2^{\star *} \) Soient A et B deux matrices carrées d'ordre n telle que \( \mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{n} \). Soit M une matrice carrée d'ordre n telle qu'il existe deux réels non nuls et distincts \( \lambda \) et \( \mu \) tels que : \[ \mathrm{M}=\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B} \text { et } \mathrm{M}^{2}=\lambda^{2} \mathrm{~A}+\mu^{2} \mathrm{~B} . \] 1. a. Montrer que : \( \quad\left(\mathrm{M}-\lambda\left(\mathrm{I}_{n}\right)\left(\mathrm{M}-\mu\left(\mathrm{I}_{n}\right)=\left(\mathrm{M}-\mu\left[\mathrm{I}_{n}\right)\left(\mathrm{M}-\lambda\left(\mathrm{I}_{n}\right)=0_{n}\right.\right.\right.\right. \). b. En déduire qu \( \mathrm{AB}=\mathrm{BA}=0_{n} \) et que \( \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A} \) et \( \mathrm{B}^{2}=\mathrm{B} \). 2. Démontrer que, pour tout \( p \in \mathbb{N} \), on a \( \quad \mathrm{M}^{p}=\lambda^{p} \mathrm{~A}+\mu^{p} \mathrm{~B} \).
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