Las coordenadas polares de un cierto punto son \( (r=4.30 \) \( \left.\mathrm{cm}, \theta=214^{\circ}\right) \). (a) Encuentre sus coordenadas cartesianas \( x \) y \( y \). Encuentre las coordenadas polares de los puntos con coordenadas cartesianas (b) \( (-x, y) \), (c) \( (-2 x,-2 y) \), y (d) \( (3 x,-3 y) \).

Para convertir las coordenadas polares \( (r, \theta) \) a coordenadas cartesianas \( (x, y) \), utilizamos las siguientes fórmulas: \[ x = r \cdot \cos(\theta) \] \[ y = r \cdot \sin(\theta) \] Dado que \( r = 4.30 \, \text{cm} \) y \( \theta = 214^{\circ} \), primero convertimos \( \theta \) a radianes si es necesario, pero en este caso podemos usar directamente las funciones trigonométricas en grados. Calculamos \( x \) y \( y \): \[ x = 4.30 \cdot \cos(214^{\circ}) \] \[ y = 4.30 \cdot \sin(214^{\circ}) \] Usando una calculadora: \[ \cos(214^{\circ}) \approx -0.9063 \] \[ \sin(214^{\circ}) \approx -0.4226 \] Ahora calculamos \( x \) y \( y \): \[ x \approx 4.30 \cdot (-0.9063) \approx -3.895 \] \[ y \approx 4.30 \cdot (-0.4226) \approx -1.818 \] Por lo tanto, las coordenadas cartesianas son aproximadamente: \[ (x, y) \approx (-3.895 \, \text{cm}, -1.818 \, \text{cm}) \] Ahora, encontramos las coordenadas polares de los puntos solicitados: (b) Para el punto \( (-x, y) \): \[ -x \approx 3.895 \, \text{cm}, \quad y \approx -1.818 \, \text{cm} \] Calculamos \( r \) y \( \theta \): \[ r = \sqrt{(-x)^2 + y^2} = \sqrt{(3.895)^2 + (-1.818)^2} \approx \sqrt{15.195 + 3.304} \approx \sqrt{18.499} \approx 4.30 \, \text{cm} \] Para \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{-x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-1.818}{3.895}\right) \approx \tan^{-1}(-0.466) \approx -25^{\circ} \] Dado que estamos en el segundo cuadrante (porque \( -x > 0 \) y \( y < 0 \)), sumamos \( 180^{\circ} \): \[ \theta \approx 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ} \] Por lo tanto, las coordenadas polares son: \[ (4.30 \, \text{cm}, 155^{\circ}) \] (c) Para el punto \( (-2x, -2y) \): \[ -2x \approx 2 \cdot 3.895 \approx 7.79 \, \text{cm}, \quad -2y \approx 2 \cdot 1.818 \approx 3.636 \, \text{cm} \] Calculamos \( r \) y \( \theta \): \[ r = \sqrt{(-2x)^2 + (-2y)^2} = \sqrt{(7.79)^2 + (3.636)^2} \approx \sqrt{60.756 + 13.227} \approx \sqrt{73.983} \approx 8.61 \, \text{cm} \] Para \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2y}{-2x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3.636}{7.79}\right) \approx \tan^{-1}(0.466) \approx 25^{\circ} \] Dado que estamos en el tercer cuadrante (porque ambos son negativos), sumamos \( 180^{\circ} \): \[ \theta \approx 180^{\circ} + 25^{\circ} = 205^{\circ} \] Por lo tanto, las coordenadas polares son: \[ (8.61 \, \text{cm}, 205^{\circ}) \] (d) Para el punto \( (3x, -3y) \): \[ 3x \approx 3 \cdot