En un lote baldio de 50 por 100 metros, una compañía llantera requiere bardear un terreno rectangular o cuadrado de 550 metros cuadrados de superficie, dejando sin barda el lado que da hacia el Norte porque será utilizado como entrada, ¿ qué dimensiones deberá tener el terreno para que la suma bardeada sea la minima y asi reducir costos de construcción?

Para resolver este problema, necesitamos encontrar las dimensiones del terreno rectangular que minimizan la cantidad de barda necesaria, dado que el lado norte no será bardeado. Llamemos \( x \) a la longitud del lado este (que será bardeado) y \( y \) a la longitud del lado sur (que también será bardeado). La superficie del terreno es de 550 m², por lo que tenemos la siguiente relación: \[ x \cdot y = 550 \] La cantidad de barda necesaria, que queremos minimizar, es la suma de los lados bardeados, que son dos lados (este y sur) y el lado oeste: \[ B = x + y + x = 2x + y \] Ahora, podemos expresar \( y \) en términos de \( x \) usando la relación de área: \[ y = \frac{550}{x} \] Sustituyendo \( y \) en la ecuación de barda: \[ B = 2x + \frac{550}{x} \] Para minimizar \( B \), derivamos con respecto a \( x \) y encontramos el punto crítico: \[ \frac{dB}{dx} = 2 - \frac{550}{x^2} \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 2 - \frac{550}{x^2} = 0 \] Resolviendo para \( x \): \[ \frac{550}{x^2} = 2 \] \[ 550 = 2x^2 \] \[ x^2 = 275 \] \[ x = \sqrt{275} \approx 16.58 \text{ m} \] Ahora, sustituimos \( x \) para encontrar \( y \): \[ y = \frac{550}{x} = \frac{550}{\sqrt{275}} \approx 33.16 \text{ m} \] Por lo tanto, las dimensiones del terreno que minimizan la cantidad de barda necesaria son aproximadamente: - Lado este (bardeado): \( x \approx 16.58 \) m - Lado sur (bardeado): \( y \approx 33.16 \) m Así, el terreno tendrá dimensiones de aproximadamente 16.58 m de ancho (este) y 33.16 m de largo (sur), dejando el lado norte sin barda.