Soit f une fonction numérique définie $$ \mathbb{R} $$ par $$ f(x)=x^{3}+x-1 $$ 1. Calculer $$ f^{\prime}(x) $$ et Dresser le tableau de variation de la fonction $$ f $$ sur $$ \mathbb{R} $$ 2. Montrer que l'équation $$ f(x)=0 $$ admet une solution unique $$ \alpha $$ sur $$ \mathbb{R} $$ 3. Vérifier que $$ 0

Question

Soit f une fonction numérique définie $$ \mathbb{R} $$ par $$ f(x)=x^{3}+x-1 $$ 1. Calculer $$ f^{\prime}(x) $$ et Dresser le tableau de variation de la fonction $$ f $$ sur $$ \mathbb{R} $$ 2. Montrer que l'équation $$ f(x)=0 $$ admet une solution unique $$ \alpha $$ sur $$ \mathbb{R} $$ 3. Vérifier que $$ 0<\alpha<1 $$ 4. Utilisant la méthode de la dichotomie donner un encadrement de $$ \alpha $$ d'amplitude $$ 25 	imes 10^{-2} $$ 5. Montrer que $$ \alpha^{2}=\frac{1}{\alpha}-1 $$ 6. En déduire le signe de $$ f(x) $$ sur $$ \mathbb{R} $$ 7. a) Montrer que $$ f $$ admet une fonction réciproque $$ f^{-1} $$ sur un intervalle $$ J $$ que l' on déterminera. b) Dresser le tableau de variation de la fonction $$ f^{-1} $$ c) Montrer que $$ (\forall x \in \mathbb{R})\left(f^{-1}(x)ight)^{3}+f^{-1}(x)-1=x $$

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1. Calculer la dérivée de $$ f(x) = x^3 + x - 1 $$ pour obtenir $$ f'(x) = 3x^2 + 1 $$ et dresser le tableau de variation de $$ f $$. 2. Montrer que $$ f(x) $$ est strictement croissante ou décroissante pour que $$ f(x) = 0 $$ ait une solution unique $$ \alpha $$. 3. Trouver $$ \alpha $$ et vérifier que $$ 0 < \alpha < 1 $$. 4. Utiliser la méthode de la dichotomie pour trouver un encadrement de $$ \alpha $$ avec une amplitude de $$ 25 	imes 10^{-2} $$. 5. Vérifier l'égalité $$ \alpha^2 = \frac{1}{\alpha} - 1 $$. 6. Déterminer le signe de $$ f(x) $$ sur $$ \mathbb{R} $$ en utilisant la dérivée. 7. a) Montrer que $$ f $$ est bijective pour avoir une réciproque $$ f^{-1} $$. b) Dresser le tableau de variation de $$ f^{-1} $$. c) Montrer que $$ (f^{-1}(x))^3 + f^{-1}(x) - 1 = x $$.

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