Soit f une fonction numérique définie \( \mathbb{R} \) par \( f(x)=x^{3}+x-1 \) 1. Calculer \( f^{\prime}(x) \) et Dresser le tableau de variation de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \) 2. Montrer que l'équation \( f(x)=0 \) admet une solution unique \( \alpha \) sur \( \mathbb{R} \) 3. Vérifier que \( 0<\alpha<1 \) 4. Utilisant la méthode de la dichotomie donner un encadrement de \( \alpha \) d'amplitude \( 25 \times 10^{-2} \) 5. Montrer que \( \alpha^{2}=\frac{1}{\alpha}-1 \) 6. En déduire le signe de \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \) 7. a) Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) sur un intervalle \( J \) que l' on déterminera. b) Dresser le tableau de variation de la fonction \( f^{-1} \) c) Montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R})\left(f^{-1}(x)\right)^{3}+f^{-1}(x)-1=x \)
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