2. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones con algunas restricciones. a) \( f(x)=\frac{x}{x+0} \) b) \( g(x)=\frac{3 x-2}{x-1} \) c) \( f(x)=\frac{x}{x+12} \) d) \( g(x)=\frac{2 x+3}{x-4} \)

Para determinar el dominio y el rango de las funciones dadas, primero identificaremos las restricciones que pueden afectar a cada función. ### a) \( f(x) = \frac{x}{x + 0} \) **Dominio:** La función está definida siempre que el denominador no sea cero. Por lo tanto, tenemos: \[ x + 0 \neq 0 \implies x \neq 0 \] El dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] **Rango:** La función se puede simplificar a \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \) para \( x \neq 0 \). Por lo tanto, el rango es: \[ R_f = \{1\} \] ### b) \( g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \] El dominio de \( g(x) \) es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] **Rango:** Para encontrar el rango, observamos que la función es una hipérbola. La función puede tomar todos los valores reales excepto el valor que hace que el numerador sea cero cuando el denominador es cero. Para \( g(x) \): \[ 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] Evaluando \( g\left(\frac{2}{3}\right) \): \[ g\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3\left(\frac{2}{3}\right) - 2}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2 - 2}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{0}{-\frac{1}{3}} = 0 \] La función no puede ser igual a 3 (asintota horizontal). Por lo tanto, el rango es: \[ R_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \] ### c) \( f(x) = \frac{x}{x + 12} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x + 12 \neq 0 \implies x \neq -12 \] El dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-12\} \] **Rango:** La función se comporta como una hipérbola. Para encontrar el rango, notamos que la función se aproxima a 1 cuando \( x \) tiende a infinito. La función nunca puede ser igual a 1: \[ \frac{x}{x + 12} = 1 \implies x = x + 12 \text{ (no tiene solución)} \] Por lo tanto, el rango es: \[ R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] ### d) \( g(x) = \frac{2x + 3}{x - 4} \) **Dominio:** El denominador no puede ser cero: \[ x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4 \] El dominio de \( g(x) \) es: \[ D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\} \] **Rango:** La función es una hipérbola. Para encontrar el rango, notamos que la función se aproxima a 2 cuando \( x \) tiende a infinito. La función nunca puede ser igual a 2: \[ 2x + 3 = 2(x - 4) \implies 2x + 3 = 2x - 8 \text{ (no tiene solución)} \] Por lo tanto, el rango es: \[ R_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} \] ### Resumen - **a)** \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \), \( R_f = \{1\} \) - **b)** \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\} \), \( R_g = \mathbb{R} \setminus \{3\} \) - **c)** \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-12\} \), \( R_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) - **d)** \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{4\} \), \( R_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} \)