$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sin (\frac{y}{x}) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای حل معادله دیفرانسیل $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sin(\frac{y}{x}) $$، متغیر را تغییر دهیم و معادله را به شکل $$ \tan\left(\frac{y}{2x}\right) = C_2 x $$ تبدیل می‌کنیم. برای حل معادله دیفرانسیل $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sin\left(\frac{y}{x}\right) $$، می‌توانیم از تغییر متغیر استفاده کنیم. بیایید $$ v = \frac{y}{x} $$ را تعریف کنیم، بنابراین $$ y = vx $$ و با مشتق‌گیری خواهیم داشت: $$ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} $$ حالا معادله را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم: $$ v + x\frac{dv}{dx} = v + \sin(v) $$ با ساده‌سازی، داریم: $$ x\frac{dv}{dx} = \sin(v) $$ حالا می‌توانیم این معادله را به شکل زیر بنویسیم: $$ \frac{dv}{\sin(v)} = \frac{dx}{x} $$ حالا هر دو طرف را انتگرال می‌گیریم: $$ \int \frac{dv}{\sin(v)} = \int \frac{dx}{x} $$ انتگرال سمت راست به سادگی برابر با $$ \ln|x| + C_1 $$ است. برای انتگرال سمت چپ، می‌توانیم از تابع $$ \ln|\tan(\frac{v}{2})| $$ استفاده کنیم: $$ \ln|\tan(\frac{v}{2})| = \ln|x| + C_1 $$ حالا می‌توانیم معادله را به شکل زیر بنویسیم: $$ \tan\left(\frac{v}{2}\right) = C_2 x $$ که در آن $$ C_2 = e^{C_1} $$ است. حالا با جایگزینی $$ v = \frac{y}{x} $$ داریم: $$ \tan\left(\frac{y}{2x}\right) = C_2 x $$ این معادله به عنوان حل عمومی معادله دیفرانسیل اولیه ما است.

\( \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sin (\frac{y}{x}) \)

UpStudy ThothAI Solution

Step-by-step Solution

Quick Answer

\( \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\sin (\frac{y}{x}) \)

UpStudy ThothAI Solution

Step-by-step Solution

Quick Answer

Related Questions