\( \int _{1}^{8}\sqrt {1+4x^{\frac{-2}{3}}} d x \)

Para resolver la integral \( \int _{1}^{8}\sqrt {1+4x^{\frac{-2}{3}}} \, dx \), primero simplificamos la expresión dentro de la raíz. La integral se puede reescribir como: \[ \int _{1}^{8}\sqrt {1+\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}} \, dx \] Ahora, podemos hacer un cambio de variable para facilitar la integración. Sea \( u = x^{\frac{1}{3}} \), entonces \( x = u^3 \) y \( dx = 3u^2 \, du \). Los límites de integración cambian de \( x = 1 \) a \( x = 8 \) a \( u = 1 \) a \( u = 2 \). Sustituyendo en la integral, tenemos: \[ \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \frac{4}{(u^3)^{\frac{2}{3}}}} \cdot 3u^2 \, du = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \frac{4}{u^2}} \cdot 3u^2 \, du \] Simplificamos la expresión dentro de la raíz: \[ \sqrt{1 + \frac{4}{u^2}} = \sqrt{\frac{u^2 + 4}{u^2}} = \frac{\sqrt{u^2 + 4}}{u} \] Por lo tanto, la integral se convierte en: \[ \int_{1}^{2} 3u^2 \cdot \frac{\sqrt{u^2 + 4}}{u} \, du = \int_{1}^{2} 3u \sqrt{u^2 + 4} \, du \] Ahora, resolvemos la integral \( \int 3u \sqrt{u^2 + 4} \, du \). Usamos la sustitución \( v = u^2 + 4 \), entonces \( dv = 2u \, du \) o \( du = \frac{dv}{2u} \). Cuando \( u = 1 \), \( v = 1^2 + 4 = 5 \) y cuando \( u = 2 \), \( v = 2^2 + 4 = 8 \). Sustituyendo, tenemos: \[ \int 3u \sqrt{v} \cdot \frac{dv}{2u} = \frac{3}{2} \int \sqrt{v} \, dv \] La integral de \( \sqrt{v} \) es: \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}} = v^{\frac{3}{2}} \] Evaluamos desde \( v = 5 \) hasta \( v = 8 \): \[ \left[ v^{\frac{3}{2}} \right]_{5}^{8} = 8^{\frac{3}{2}} - 5^{\frac{3}{2}} = 4\sqrt{8} - 5\sqrt{5} \] Calculamos: \[ 4\sqrt{8} = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] Por lo tanto, el resultado final de la integral es: \[ 8\sqrt{2} - 5\sqrt{5} \] Así que la solución a la integral \( \int _{1}^{8}\sqrt {1+4x^{\frac{-2}{3}}} \, dx \) es: \[ 8\sqrt{2} - 5\sqrt{5} \]