A (allar qrea entre Curvas \( x=3-y^{2}, x=y+1 \)

Para encontrar la intersección de las dos curvas dadas \( x=3-y^{2} \) y \( x=y+1 \), primero necesitamos igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para \( y \). Igualamos las dos ecuaciones: \[ 3-y^{2} = y+1 \] Ahora, resolvamos esta ecuación para encontrar el valor de \( y \) en la intersección de las dos curvas. Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(3-y^{2}=y+1\) - step1: Move the expression to the left side: \(2-y^{2}-y=0\) - step2: Factor the expression: \(\left(1-y\right)\left(2+y\right)=0\) - step3: Separate into possible cases: \(\begin{align}&1-y=0\\&2+y=0\end{align}\) - step4: Solve the equation: \(\begin{align}&y=1\\&y=-2\end{align}\) - step5: Rewrite: \(y_{1}=-2,y_{2}=1\) La solución de la ecuación \( 3-y^{2} = y+1 \) es \( y = -2 \) o \( y = 1 \). Esto significa que las dos curvas se cruzan en dos puntos: uno en \( y = -2 \) y otro en \( y = 1 \). Para encontrar los valores correspondientes de \( x \) en estos puntos de intersección, sustituimos los valores de \( y \) en una de las ecuaciones dadas. Por ejemplo, sustituimos \( y = -2 \) en la ecuación \( x = y + 1 \): \[ x = -2 + 1 = -1 \] Por lo tanto, la intersección de las dos curvas ocurre en el punto \( (-1, -2) \). De manera similar, sustituimos \( y = 1 \) en la ecuación \( x = y + 1 \): \[ x = 1 + 1 = 2 \] Por lo tanto, la otra intersección ocurre en el punto \( (2, 1) \).