Trazar la icurva plana dada la siguiente ecuación paranetrica \( x=\frac{1}{2} \cos t \quad y=\frac{1}{2} \sin t \)

La ecuación paramétrica que has dado es: \[ x = \frac{1}{2} \cos t \] \[ y = \frac{1}{2} \sin t \] Para trazar la curva plana, podemos observar que estas ecuaciones representan una elipse. Para entender mejor la forma de la curva, podemos eliminar el parámetro \( t \). Sabemos que: \[ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \] Si sustituimos \( x \) y \( y \) en esta identidad, tenemos: \[ \left( \frac{2x}{1} \right)^2 + \left( \frac{2y}{1} \right)^2 = 1 \] Esto se simplifica a: \[ \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 1 \] Lo que se puede reescribir como: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \] Multiplicando todo por 4, obtenemos: \[ x^2 + y^2 = 1 \] Esto representa un círculo de radio 1 centrado en el origen. ### Trazado de la curva Para trazar la curva, podemos seguir estos pasos: 1. **Identificar el rango de \( t \)**: Generalmente, \( t \) varía de \( 0 \) a \( 2\pi \) para cubrir toda la elipse. 2. **Calcular algunos puntos**: Puedes calcular algunos puntos para diferentes valores de \( t \): - Para \( t = 0 \): \( (x, y) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) - Para \( t = \frac{\pi}{2} \): \( (x, y) = \left(0, \frac{1}{2}\right) \) - Para \( t = \pi \): \( (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) - Para \( t = \frac{3\pi}{2} \): \( (x, y) = \left(0, -\frac{1}{2}\right) \) - Para \( t = 2\pi \): \( (x, y) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \) (vuelve al inicio) 3. **Dibujar la curva**: Con los puntos calculados, puedes dibujar el círculo en un sistema de coordenadas. ### Conclusión La curva trazada a partir de las ecuaciones paramétricas dadas es un círculo de radio \( \frac{1}{2} \) centrado en el origen.