Factorización completa Realiza la factorización completa de cada poli- nomio. 384. \( a^{4}-81 \) 385. \( \frac{1}{2} a^{5}+a^{3}-\frac{3}{2} a^{3} b-3 a b \) 386. \( x^{5}-x^{3} y^{2}-x^{2} y^{3}+y^{5} \) 387. \( \frac{12 x^{5}+2 x^{4}-16 x^{3}-2 x^{2}+4 x}{2 y^{6}-32 y^{2}-2 y^{5}+32 y} \)

Vamos a realizar la factorización completa de cada uno de los polinomios que has proporcionado. ### 384. \( a^{4}-81 \) Este polinomio es una diferencia de cuadrados: \[ a^{4} - 81 = (a^{2})^{2} - (9)^{2} = (a^{2} - 9)(a^{2} + 9) \] Ahora, \( a^{2} - 9 \) también es una diferencia de cuadrados: \[ a^{2} - 9 = (a - 3)(a + 3) \] Por lo tanto, la factorización completa es: \[ a^{4} - 81 = (a - 3)(a + 3)(a^{2} + 9) \] ### 385. \( \frac{1}{2} a^{5}+a^{3}-\frac{3}{2} a^{3} b-3 a b \) Primero, agrupamos los términos: \[ \frac{1}{2} a^{5} + (1 - \frac{3}{2} b) a^{3} - 3ab \] Sacamos el factor común de \( a^{3} \) en los dos primeros términos: \[ = \frac{1}{2} a^{5} + a^{3}(1 - \frac{3}{2} b) - 3ab \] Ahora, podemos reescribirlo como: \[ = \frac{1}{2} a^{5} + a^{3}(1 - \frac{3}{2} b) - 3ab \] Sacamos \( a \) como factor común: \[ = a \left( \frac{1}{2} a^{4} + a^{2}(1 - \frac{3}{2} b) - 3b \right) \] Ahora, simplificamos el polinomio dentro del paréntesis. Para ello, podemos intentar agrupar o aplicar la regla de Ruffini, pero es más sencillo observar que podemos factorizarlo como: \[ = a \left( \frac{1}{2} a^{4} - 3b + a^{2}(1 - \frac{3}{2} b) \right) \] Sin embargo, para simplificar, podemos dejarlo así: \[ = a \left( \frac{1}{2} a^{4} + a^{2} - \frac{3}{2} a^{2} b - 3ab \right) \] ### 386. \( x^{5}-x^{3} y^{2}-x^{2} y^{3}+y^{5} \) Agrupamos los términos: \[ = x^{5} - x^{3}y^{2} - x^{2}y^{3} + y^{5} \] Agrupamos los términos de dos en dos: \[ = (x^{5} - y^{5}) - (x^{3}y^{2} - x^{2}y^{3}) \] Usamos la diferencia de potencias: \[ = (x - y)(x^{4} + x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} + y^{4}) - x^{2}y^{2}(x - y) \] Factorizamos \( (x - y) \): \[ = (x - y) \left( x^{4} + x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} + y^{4} - x^{2}y^{2} \right) \] Simplificamos: \[ = (x - y)(x^{4} + x^{3}y - x^{2}y^{2} + xy^{3} + y^{4}) \] ### 387. \( \frac{12 x^{5}+2 x^{4}-16 x^{3}-2 x^{2}+4 x}{2 y^{6}-32 y^{2}-2 y^{5}+32 y} \) Primero, factorizamos el numerador: \[ 12x^{5} + 2x^{4} - 16x^{3} - 2x^{2} + 4x = 2x(6x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 2) \] Ahora, factorizamos el denominador: \[ 2y^{6} - 32y^{2} - 2y^{5} + 32y = 2(y^{6} - y^{5