26. (Decisiones sobre fijación de precios) La demanda del mercado de cierto producto es de \( x \) unidades cuando el pre- cio fijado al consumidor es de \( p \) dólares, en donde \[ 15 p+2 x=720 \] El costo (en dólares) de producir \( x \) unidades está dado por \( C(x)=200+6 x \). ¿Qué precio \( p \) por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima?

Para encontrar el precio \( p \) por unidad que deberá fijarse al consumidor con el objetivo de maximizar la utilidad, primero necesitamos expresar la utilidad en términos de \( p \) y \( x \). La utilidad se calcula como la diferencia entre los ingresos y los costos. Los ingresos se calculan multiplicando el precio por la cantidad vendida, y los costos se calculan multiplicando el costo unitario por la cantidad producida. Dado que la demanda del mercado es de \( x \) unidades cuando el precio fijado al consumidor es de \( p \) dólares, podemos expresar los ingresos como \( I(p,x) = px \). El costo de producir \( x \) unidades se da por \( C(x) = 200 + 6x \). Por lo tanto, la utilidad \( U(p,x) \) se puede expresar como: \[ U(p,x) = I(p,x) - C(x) \] Sustituyendo las expresiones de los ingresos y los costos, obtenemos: \[ U(p,x) = px - (200 + 6x) \] Dado que la demanda del mercado es de \( x \) unidades cuando el precio fijado al consumidor es de \( p \) dólares, podemos expresar \( x \) en términos de \( p \) utilizando la ecuación dada: \[ 15p + 2x = 720 \] Resolviendo esta ecuación para \( x \), obtenemos: \[ x = \frac{720 - 15p}{2} \] Sustituyendo esta expresión de \( x \) en la utilidad \( U(p,x) \), obtenemos la utilidad en términos de \( p \): \[ U(p) = p \left( \frac{720 - 15p}{2} \right) - (200 + 6 \left( \frac{720 - 15p}{2} \right)) \] Para encontrar el precio \( p \) que maximiza la utilidad, necesitamos encontrar el valor de \( p \) que maximiza la función \( U(p) \). Esto se puede hacer encontrando el valor de \( p \) que hace que la derivada de \( U(p) \) sea igual a cero. Vamos a calcular la derivada de \( U(p) \) con respecto a \( p \) y luego encontrar el valor de \( p \) que maximiza la utilidad. Evaluate the derivative by following steps: - step0: Evaluate the derivative: \(\frac{d}{dp}\left(\frac{p\left(720-15p\right)}{2}-\left(200+\frac{6\left(720-15p\right)}{2}\right)\right)\) - step1: Reduce the fraction: \(\frac{d}{dp}\left(\frac{p\left(720-15p\right)}{2}-\left(200+3\left(720-15p\right)\right)\right)\) - step2: Add the terms: \(\frac{d}{dp}\left(\frac{p\left(720-15p\right)}{2}-\left(2360-45p\right)\right)\) - step3: Subtract the terms: \(\frac{d}{dp}\left(\frac{810p-15p^{2}-4720}{2}\right)\) - step4: Use differentiation rules: \(\frac{1}{2}\times \frac{d}{dp}\left(810p-15p^{2}-4720\right)\) - step5: Calculate the derivative: \(\frac{1}{2}\left(810-30p\right)\) - step6: Calculate: \(405-15p\) La derivada de la utilidad \( U(p) \) con respecto a \( p \) es \( 405 - 15p \). Para encontrar el valor de \( p \) que maximiza la utilidad, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación: \[ 405 - 15p = 0 \] Resolviendo esta ecuación, obtenemos: \[ 15p = 405 \] \[ p = \frac{405}{15} \] \[ p = 27 \] Por lo tanto, el precio \( p \) por unidad que deberá fijarse al consumidor con el objetivo de maximizar la utilidad es de 27 dólares.