4. Quyidagi bichiziq formaning matritsasini toping: \( \varphi(x, y)=\mathrm{x}_{1} \mathrm{y}_{1}+\mathrm{x}_{2} \mathrm{y}_{2}+\ldots .+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{y}_{\mathrm{n}} \) 5. Quyidagi to'g'ri chiziqlarning o'zaro vaziyatini aniqlang: \( x-2 y+3 z+4=0 \quad x \quad \) va \( \quad x+y+z+1=0 \)

4. Berilgan bichiziq formaning matritsasini topish uchun, avval \( \varphi(x, y) \) ifodasini ko'rib chiqamiz: \[ \varphi(x, y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n \] Bu ifoda vektorlar \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) va \( \mathbf{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) o'rtasidagi skalar ko'paytmani ifodalaydi. Bichiziq formaning matritsasi \( A \) quyidagi ko'rinishda bo'ladi: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} \] Bu yerda \( A \) matritsasi \( n \times n \) o'lchamda bo'lib, barcha elementlari 0 ga teng. Bichiziq forma skalar ko'paytma sifatida ifodalanganligi uchun, matritsa elementlari o'zaro bog'lanmagan. 5. Berilgan to'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz: 1. \( x - 2y + 3z + 4 = 0 \) 2. \( x + y + z + 1 = 0 \) Bu to'g'ri chiziqlarni parametrik ko'rinishda ifodalashimiz mumkin. Har bir to'g'ri chiziqning normal vektori va kesish nuqtasini aniqlash orqali ularning o'zaro vaziyatini aniqlaymiz. 1. Birinchi to'g'ri chiziqning normal vektori \( \mathbf{n_1} = (1, -2, 3) \). 2. Ikkinchi to'g'ri chiziqning normal vektori \( \mathbf{n_2} = (1, 1, 1) \). Endi, bu normal vektorlar o'rtasidagi bog'lanishni tekshiramiz. Agar normal vektorlar bir-biriga proporsional bo'lsa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi. Aks holda, ular kesishadi yoki bir nuqtada kesishadi. Normal vektorlar: \[ \mathbf{n_1} = (1, -2, 3), \quad \mathbf{n_2} = (1, 1, 1) \] Bu vektorlar proporsional emas, shuning uchun to'g'ri chiziqlar kesishadi. Ularning kesish nuqtasini topish uchun, ikkita tenglama tizimini yechamiz: 1. \( x - 2y + 3z + 4 = 0 \) 2. \( x + y + z + 1 = 0 \) Bu tenglamalarni yechish orqali to'g'ri chiziqlar o'rtasidagi kesish nuqtasini topishimiz mumkin. Tenglamalarni yechish jarayonida, birinchi tenglamadan \( x \) ni ifodalab, ikkinchi tenglamaga qo'yamiz va yechamiz. Natijada, to'g'ri chiziqlar o'zaro kesishadi.