La siguiente función tiene por lo menos un cero racional. Utilizar este dato para hallar todos los ceros de la función. \[ f(x)=5 x^{4}+27 x^{3}+41 x^{2}+17 x+6 \] Si hubiera más de un cero, separarlos con comas. Escribir valores exactos, no aproximacione

Para encontrar todos los ceros de la función \( f(x) = 5x^4 + 27x^3 + 41x^2 + 17x + 6 \), primero necesitamos identificar los ceros racionales. Dado que la función tiene por lo menos un cero racional, podemos utilizar la regla de Ruffini para encontrar los ceros racionales. La regla de Ruffini nos permite encontrar un cero racional de una función polinómica de grado \( n \) si conocemos un cero racional. La regla de Ruffini se utiliza para encontrar un cero racional de la forma \( \frac{p}{q} \), donde \( p \) es un divisor de la constante final del polinomio y \( q \) es un divisor de la constante inicial del polinomio. En este caso, la constante final del polinomio es 6 y la constante inicial es 5. Los divisores de 6 son \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \) y los divisores de 5 son \( \pm 1, \pm 5 \). Vamos a probar los posibles ceros racionales \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \) en la función \( f(x) \) para encontrar los ceros racionales. 1. Pruebas con \( x = -1 \): \[ f(-1) = 5(-1)^4 + 27(-1)^3 + 41(-1)^2 + 17(-1) + 6 = 5 + (-27) + 41 - 17 + 6 = 8 \] Como \( f(-1) \neq 0 \), \( x = -1 \) no es un cero de la función. 2. Pruebas con \( x = -2 \): \[ f(-2) = 5(-2)^4 + 27(-2)^3 + 41(-2)^2 + 17(-2) + 6 = 5(16) + 27(-8) + 41(4) - 34 + 6 = 80 - 216 + 164 - 34 + 6 = 0 \] Como \( f(-2) = 0 \), \( x = -2 \) es un cero de la función. Por lo tanto, uno de los ceros racionales de la función es \( x = -2 \). Para encontrar los otros ceros, podemos dividir el polinomio por \( x + 2 \) y obtener un polinomio de grado menor. Luego, podemos encontrar los ceros restantes utilizando la regla de Ruffini o cualquier otro método de factorización. Vamos a dividir el polinomio \( f(x) = 5x^4 + 27x^3 + 41x^2 + 17x + 6 \) por \( x + 2 \) para encontrar los otros ceros. Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\frac{\left(5x^{4}+27x^{3}+41x^{2}+17x+6\right)}{\left(x+2\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{5x^{4}+27x^{3}+41x^{2}+17x+6}{x+2}\) - step2: Factor the expression: \(\frac{\left(x+2\right)\left(5x^{3}+17x^{2}+7x+3\right)}{x+2}\) - step3: Reduce the fraction: \(5x^{3}+17x^{2}+7x+3\) Después de dividir el polinomio \( f(x) = 5x^4 + 27x^3 + 41x^2 + 17x + 6 \) por \( x + 2 \), obtenemos el polinomio \( 5x^3 + 17x^2 + 7x + 3 \). Ahora, vamos a encontrar los ceros restantes de este nuevo polinomio utilizando la regla de Ruffini. Vamos a probar los posibles ceros racionales \( \pm 1, \pm 3 \) en el polinomio \( 5x^3 + 17x^2 + 7x + 3 \) para encontrar los ceros racionales. 1. Pruebas con \( x = -1 \): \[ 5(-1)^3 + 17(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -5 + 17 - 7 + 3 = 8 \] Como \( 5(-1)^3 + 17(-1)^2 + 7(-1) + 3 \neq 0 \), \( x = -1 \) no es un cero de la función. 2. Pruebas con \( x = -3 \): \[ 5(-3)^3 + 17(-3)^2 + 7(-3) + 3 = -135 + 153 - 21 + 3 = 0 \] Como \( 5(-3)^3 + 17(-3)^2 + 7(-3) + 3 = 0 \), \( x = -3 \) es un cero de la función. Por lo tanto, los ceros de la función \( f(x) = 5x^4 + 27x^3 + 41x^2 + 17x + 6 \) son \( x = -2 \) y \( x = -3 \).