Sea la ecuación diferencial \[ y^{\prime}-\frac{y}{y-x}=0, \quad(y-x)^{2}=c+x^{2} \]

Para resolver la ecuación diferencial dada: \[ y' - \frac{y}{y - x} = 0, \] podemos reescribirla de la siguiente manera: \[ y' = \frac{y}{y - x}. \] Esto es una ecuación diferencial separable. Podemos separar las variables \(y\) y \(x\): \[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{y - x}. \] Ahora, integramos ambos lados. Primero, integramos el lado izquierdo: \[ \int \frac{dy}{y} = \ln |y| + C_1. \] Ahora, integramos el lado derecho. Para esto, podemos usar la sustitución \(u = y - x\), lo que implica que \(du = dy - dx\) o \(dy = du + dx\). Entonces, podemos reescribir el lado derecho: \[ \int \frac{dx}{y - x} = \int \frac{dx}{u} = \ln |u| + C_2 = \ln |y - x| + C_2. \] Por lo tanto, tenemos: \[ \ln |y| = \ln |y - x| + C, \] donde \(C = C_2 - C_1\) es una constante de integración. Exponenciando ambos lados, obtenemos: \[ |y| = K |y - x|, \] donde \(K = e^C\) es una constante positiva. Esto se puede reescribir como: \[ y = K(y - x) \quad \text{o} \quad y = K y - K x. \] Reorganizando, tenemos: \[ y(1 - K) = -K x. \] Si \(K \neq 1\), podemos despejar \(y\): \[ y = \frac{-K x}{1 - K}. \] Si \(K = 1\), la ecuación se convierte en una indeterminación. Por lo tanto, consideramos el caso \(K \neq 1\). Ahora, para la segunda parte de la pregunta, tenemos la relación: \[ (y - x)^2 = c + x^2. \] Desarrollamos esta ecuación: \[ y - x = \pm \sqrt{c + x^2}. \] Por lo tanto, podemos expresar \(y\) como: \[ y = x \pm \sqrt{c + x^2}. \] Así que la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y = x + \sqrt{c + x^2} \quad \text{o} \quad y = x - \sqrt{c + x^2}. \]